Elettrodinamica classica/L'equazione di Lorentz-Dirac e le sue conseguenze

Pertanto, l'equazione di Lorentz–Dirac è:

${\frac {dp^{\mu }}{ds}}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }u_{\nu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}w^{2}u^{\mu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}{\frac {dw^{\mu }}{ds}}$

Si tratta dell'equazione che, dati i campi esterni, determina la traiettoria della particella tenendo conto della reazione di radiazione. Notiamo però che a differenza di tutte le equazioni del moto che conosciamo, questa è un'equazione del terzo ordine: ciò è molto strano, perché significa che per determinare la traiettoria di una particella non è sufficiente conoscere posizione e velocità iniziali (serve anche l'accelerazione iniziale). L'equazione di Lorentz–Dirac, infatti, porta a conseguenze patologiche e paradossali: ciò è espressione del fatto che l'elettromagnetismo classico non è completamente consistente.

Per analizzare queste conseguenze paradossali, consideriamo le componenti spaziali dell'equazione di Lorentz–Dirac nel limite non relativistico (ossia $w^{\mu }\to (0,{\vec {a}})$, $u^{\mu }\to (1,0,0,0)$ e $s\to t$ nel sistema di riferimento di quiete istantanea):

$m{\vec {a}}={\frac {e^{2}}{6\pi }}{\frac {d}{dt}}{\vec {a}}+e{\vec {E}}$

(il termine con ${\vec {B}}$ è trascurabile). Consideriamo il caso in cui non ci sia campo esterno, ossia ${\vec {E}}=0$; ci aspettiamo dunque che ${\vec {a}}=0$ (ossia la particella si muove di moto rettilineo uniforme). In realtà, se ${\vec {E}}=0$ quest'equazione diventa:

${\vec {a}}={\frac {e^{2}}{6\pi m}}{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}:=\tau {\frac {d{\vec {a}}}{dt}}$

e quindi ${\vec {a}}(t)={\vec {a}}_{0}e^{\frac {t}{\tau }}$: secondo la parte spaziale dell'equazione di Lorentz–Dirac nel limite non relativistico una particella in assenza di campi esterni accelererebbe, con un'accelerazione che peraltro diverge all'infinito (questo tipo di soluzioni sono dette “run-away”). Si tratta, ovviamente, di soluzioni fisicamente insensate, a parte il caso ${\vec {a}}_{0}=0$. Se dunque aggiungessimo la condizione ${\vec {a}}_{0}=0$ si avrebbe effettivamente:

$\lim _{t\to \infty }{\vec {a}}(t)=0$

e quindi teoricamente avremmo risolto questo paradosso (anche se il fatto di dover aggiungere una condizione ad hoc è decisamente poco soddisfacente). Il problema è che esiste un altro paradosso, decisamente più grave, detto “preaccelerazione”: in pratica, risolvendo esplicitamente l'equazione di Lorentz–Dirac risulta che l'accelerazione della particella anticipa la forza, ossia risente della forza prima ancora che questa si sia effettivamente esercitata; si tratta insomma di una palese violazione del principio di causalità. Vediamo un modo approssimato per renderci conto di questo paradosso. Riscriviamo l'equazione di Lorentz–Dirac come ($\tau :=e^{2}/6\pi m$):

$m{\bigg (}w^{\mu }-\tau {\frac {dw^{\mu }}{ds}}{\bigg )}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }u_{\nu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}w^{2}u^{\mu }:=F_{\text{eff}}^{\mu }(s)$

ove abbiamo rinominato il secondo membro come una forza effettiva. Il termine fra parentesi è lo sviluppo in serie di Taylor fino al primo ordine di $w^{\mu }(s-\tau )$; si ha insomma:

$mw^{\mu }(s-\tau )+O(\tau ^{2})=F_{\text{eff}}^{\mu \nu }(s)$

e, rinominando $s-\tau$ con $s$:

$mw^{\mu }(s)\approx F_{\text{eff}}^{\mu \nu }(s+\tau )$

Un altro modo per vederlo (lo si lascia come esercizio) è risolvere l'equazione di Lorentz–Dirac con ${\vec {E}}(t)={\vec {E}}\Theta (t)$. Risulta:

${\vec {a}}(t)={\vec {a}}_{0}e^{\frac {t}{\tau }}+{\frac {e}{m}}{\vec {E}}\Theta (t){\big (}1-e^{\frac {t}{\tau }}{\big )}$

Stavolta va richiesto che $\lim _{t\to \infty }{\vec {a}}(t)$ sia finito (non nullo), e risulta:

${\vec {a}}(t)={\frac {e}{m}}{\vec {E}}{\big [}e^{\frac {t}{\tau }}(1-\Theta (t))+\Theta (t){\big ]}={\frac {e}{m}}{\vec {E}}{\big [}e^{\frac {t}{\tau }}\Theta (-t)+\Theta (t){\big ]}$

C'è dunque un termine (quello con $\Theta (-t)$) che non è nullo quando il campo ancora “non esiste”.

La situazione, però, non è così tragica come sembra, perché i tempi per i quali avviene la violazione sono dell'ordine di $\tau$, che come sappiamo è molto piccolo. Insomma, formalmente l'equazione di Lorentz–Dirac crea problemi, che non sono però fisicamente così rilevanti.

Cerchiamo, dunque, di capire fino a che punto possiamo usare l'equazione di Lorentz–Dirac, ossia quand'è che diventano importanti gli effetti quantistici. Supponiamo dunque di avere un fenomeno di tempo caratteristico $\Delta T$; a questo corrisponde un'indeterminazione sull'energia pari a $\Delta E\sim \hbar /\Delta T$. Se $\Delta E$ è talmente grande da poter creare coppie particella–antiparticella, allora quest'incertezza non è più trascurabile, o in altre parole gli effetti quantistici non sono più trascurabili se $\Delta E\gtrsim 2m$. Quindi, quando

$\Delta T\lesssim {\frac {\hbar }{2m}}$

la meccanica classica (e quindi l'equazione di Lorentz–Dirac) non è più utilizzabile. Confrontiamo dunque $\Delta T$ con $\tau$:

$\Delta T\lesssim {\frac {\hbar }{2m}}\sim {\frac {4\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {e^{2}}{6\pi m}}={\frac {\tau }{\alpha }}$

ove $\alpha =e^{2}/4\pi \hbar$ è la cosiddetta “costante di struttura fine”; $\alpha$ è un numero piccolo (in particolare $\alpha \approx 1/137$). Quindi:

$\Delta T\lesssim 137\tau$

Pertanto, l'equazione di Lorentz–Dirac è “valida” solo per tempi molto maggiori di circa $137\tau$ (al di sotto di questi non lo è più). Abbiamo anche visto che per tempi molto maggiori di $\tau$ la reazione di radiazione è trascurabile: pertanto, non ha senso risolvere l'equazione di Lorentz–Dirac perché il termine

${\frac {e^{2}}{6\pi }}{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}$

è molto piccolo (tutti questi discorsi valgono anche per l'equazione di Lorentz–Dirac nel caso relativistico). Pertanto, l'equazione di Lorentz–Dirac va risolta considerando il termine di Schott come una piccola perturbazione; in particolare, si risolve prima l'equazione senza la perturbazione, e poi la si “reinserisce”:

$m{\vec {a}}\simeq e{\vec {E}}\xrightarrow {\mathrm {L-D} } m{\vec {a}}\simeq e{\vec {E}}+{\frac {e^{2}}{6\pi }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {e}{m}}{\vec {E}}\right)+O(\tau ^{2})$

In questo modo, i paradossi dell'equazione di Lorentz–Dirac scompaiono. Insomma, per ricapitolare, le conseguenze paradossali dell'equazione di Lorentz–Dirac scompaiono se la si pensa come equazione approssimata.