Elettrodinamica classica/L'irraggiamento

Finora abbiamo studiato il campo generato da una singola particella. Se invece ne sono presenti più di una, poiché le equazioni di Maxwell sono lineari il campo totale è la somma dei campi delle singole particelle. Dunque, se $s$ è l'indice che denota le particelle:

${\overrightarrow{E}}_a^{TOT}=\sum _s{\overrightarrow{E}}_a^{(s)}{\overrightarrow{B}}_a^{TOT}=\sum _s{\overrightarrow{B}}_a^{(s)}$

Definendo per ogni particella il versore:

${\overrightarrow{m}}^{(s)}=\frac{\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{y}}^{(s)}({\overline{t}}_s)}{|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{y}}^{(s)}({\overline{t}}_s)|}$

(ossia il versore della direzione di osservazione della singola particella), sappiamo che:

${\overrightarrow{m}}^{(s)}\cdot {\overrightarrow{E}}_a^{(s)}=0$

${\overrightarrow{B}}_a^{(s)}={\overrightarrow{m}}^{(s)}\times {\overrightarrow{E}}_a^{(s)}$

Il problema è che la determinazione del campo totale può essere terribilmente complicata, in quanto non esiste un unico versore $\overrightarrow{n}$ di propagazione dell'onda, e in generale ${\overrightarrow{B}}^{TOT}$ non è ortogonale a ${\overrightarrow{E}}^{TOT}$. Nel caso però in cui si osservi il campo a grandi distanze dalle cariche (che, come vedremo fra poco, è il caso fisicamente più interessante), ossia se $|\overrightarrow{x}|\gg |{\overrightarrow{y}}^{(s)}(t)|$, allora:

${\overrightarrow{m}}^{(s)}\to \frac{\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}:=\overrightarrow{n}$

e le formule precedenti, in questo limite, si semplificano notevolmente:

$\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_a^{TOT}=0$

${\overrightarrow{B}}_a^{TOT}=\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{E}}_a^{TOT}$

Vogliamo dunque studiare l'emissione di quadrimomento da parte di un sistema di cariche in moto, fenomeno che va sotto il nome di irraggiamento.

Sappiamo che se in una certa regione di spazio c'è del campo elettromagnetico, allora ad esso si può associare un quadrimomento $P^{\mu }$ tale che:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dt}={\int }_{\mathrm{\Gamma }}{T}_{\text{emg}}^{i\mu }d{\mathrm{\Sigma }}_i$

ove $\mathrm{\Gamma }$ è il bordo della regione di spazio contenente il nostro insieme di cariche in moto (che dunque non usciranno mai da $\mathrm{\Gamma }$). Il secondo membro di quest'espressione è però proprio il flusso di quadrimomento attraverso $\mathrm{\Gamma }$; in genere interessa conoscere il flusso di quadrimomento totale emesso da un sistema di cariche: per determinarlo basta prendere come superficie $\mathrm{\Gamma }$ una sfera di raggio $r$ e far tendere $r$ all'infinito. Allora si avrà $d{\mathrm{\Sigma }}^i=n^i{r}^{2}d\mathrm{\Omega }$, e:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dt}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2\int T_{\text{emg}}^{i\mu }{n}^{i}d\mathrm{\Omega }$

Spesso può interessare anche conoscere la distribuzione angolare del quadrimomento emesso, ossia la dipendenza dell'emissione di quadrimomento dall'angolo. Allora:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dtd\mathrm{\Omega }}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{T}_{\text{emg}}^{i\mu }{n}^i$

Per determinare queste quantità, tuttavia, basta conoscere l'andamento dei campi all'infinito per via della presenza del limite: è per questo che prima abbiamo detto che la situazione fisica più interessante è lo studio dei campi a grandi distanze dalle cariche che li hanno generati. Affinché quelle appena definite siano quantità sensate, si dovrà avere:

$T_{\text{emg}}^{i\mu }\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{r^2}$

e poiché $T_{\text{emg}}^{\mu \nu }\propto (F^{\mu \nu }{)}^2$, allora si dovrà avere:

$F^{\mu \nu }\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{r}$

Gli unici campi che vanno come $1/r$ all'infinito sono però i campi di accelerazione: è per questo che solo loro contribuiscono al fenomeno dell'irraggiamento. In altre parole, una carica può irraggiare solo se è accelerata.

Un'altra quantità di grande interesse fisico è l'energia emessa per unità di tempo e angolo solido, ossia la componente $\mu =0$ di $d{P}^{\mu }/dtd\mathrm{\Omega }$:

$\frac{dℰ}{dtd\mathrm{\Omega }}=\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{T}_{\text{emg}}^{i0}{n}^i=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{S}^i{n}^i$

ove $\overrightarrow{S}$ è il vettore di Poynting. Poiché si ha:

$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{\sim }{\overrightarrow{E}}_a\times {\overrightarrow{B}}_a={\overrightarrow{E}}_a\times (\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{E}}_a)=\overrightarrow{n}|{\overrightarrow{E}}_a{|}^2-{\overrightarrow{E}}_a(\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_a)=\overrightarrow{n}|{\overrightarrow{E}}_a{|}^2$

allora:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{n}_i{n}^i|{\overrightarrow{E}}_a{|}^2\Rightarrow \frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2|{\overrightarrow{E}}_a{|}^2$

Notiamo che poiché $\overrightarrow{S}\parallel \overrightarrow{n}$, l'energia è sempre emessa, e mai assorbita: ciò è conseguenza del fatto che abbiamo scelto la soluzione ritardata per risolvere le equazioni di Maxwell. Inoltre, poiché $|{\overrightarrow{E}}_a|\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{\sim }1/r$ il limite è finito, e pertanto per $r$ abbastanza grande l'energia emessa fluisce conservandosi (in quanto non dipende più da $r$).

Per poter rendere concretamente utili queste formule dobbiamo avere un modo per calcolare il campo ${\overrightarrow{E}}_a$ a grandi distanze dalle cariche. Potremmo sfruttare direttamente le espressioni del campo di Lienard-Wiechert per determinarlo, ma la cosa diventa troppo complicata e spesso intrattabile. Per calcolare ${\overrightarrow{E}}_a$ useremo invece l'espressione generale del potenziale di Lienard-Wiechert nel limite di grandi distanze.