Elettrodinamica classica/La dualità elettromagnetica e le sue conseguenze

Analizziamo infine un altro argomento di grande interesse dal punto di vista teorico (anche se sperimentalmente, ad oggi, non ne esistono conferme): l'esistenza e le proprietà di cariche magnetiche.

Nelle equazioni di Maxwell non compaiono cariche magnetiche, che peraltro non sono ancora state osservate sperimentalmente. Dal punto di vista teorico, però, ci sarebbe la forte tentazione di introdurle, perché renderebbero le equazioni di Maxwell simmetriche (in un senso che ora specificheremo) e permetterebbero di spiegare perché le cariche elettriche sono quantizzate. Consideriamo le equazioni di Maxwell nel vuoto:

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$

ove

${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$

(sono le identità di Bianchi). Queste equazioni ammettono una simmetria: se $F^{\mu \nu }\to {\tilde{F}}^{\mu \nu }$ e ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\to -F^{\mu \nu }$ le equazioni restano inalterate. In termini di campi, ciò equivale alle sostituzioni $\overrightarrow{E}\to \overrightarrow{B}$ e $\overrightarrow{B}\to -\overrightarrow{E}$. Questa simmetria è detta “dualità elettromagnetica”; si tratta di una simmetria discreta, che però può essere estesa a una simmetria interna:

$\begin{array}{c}{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0\\ {\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0\end{array}⟺{\partial }_{\mu }(F^{\mu \nu }+i{\tilde{F}}^{\mu \nu })=0\Rightarrow$

$\Rightarrow F^{\mu \nu }+i{\tilde{F}}^{\mu \nu }⟶e^{i\phi }(F^{\mu \nu }+i{\tilde{F}}^{\mu \nu }),\phi \in ℝ$

In termini di campi:

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{E}\\ \overrightarrow{B}\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{E}\\ \overrightarrow{B}\end{array}\right)$

Questa però, non è una simmetria della lagrangiana, ma solo delle equazioni (insomma, non esiste nessuna quantità conservata relativa a questa simmetria). Se però consideriamo le equazioni di Maxwell con sorgenti, questa simmetria è rotta. Possiamo modificarle in modo da renderle simmetriche? La risposta è affermativa; ad esempio:

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j_e^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=j_m^{\nu }$

ove gli indici $e$ e $m$ stanno, rispettivamente, per “elettrico” e “magnetico”; in- somma, $j_m^{\mu }=({\rho }_m,{\overrightarrow{j}}_m)$, con ${\rho }_m$ densità di carica magnetica e ${\overrightarrow{j}}_m$ densità di corrente magnetica. Pertanto, le equazioni sono ora simmetriche rispetto alle trasformazioni

$F^{\mu \nu }+i{\tilde{F}}^{\mu \nu }⟶e^{i\phi }(F^{\mu \nu }+i{\tilde{F}}^{\mu \nu })\text{e}{j}_e^{\mu }+i{j}_m^{\mu }⟶e^{i\phi }(j_e^{\mu }+i{j}_m^{\mu })$

Per essere precisi, volendo una teoria completamente simmetrica sotto questa trasformazione dobbiamo modificare anche l'equazione di Lorentz:

$\frac{d{p}^{\mu }}{ds}=e{F}^{\mu \nu }{u}_{\nu }+g{\tilde{F}}^{\mu \nu }{u}_{\nu }$

ove $g$ è la carica magnetica. Si può verificare che il tensore energia–impulso di questa teoria è identico a quello che già conosciamo.

Dal punto di vista quantistico, però, non è evidente che questa teoria sia consistente: abbiamo infatti modificato l'identità di Bianchi, che era quella che ci permetteva di introdurre il quadripotenziale. Questo è un problema perché l'equazione di Schrödinger in un campo elettromagnetico si può esprimere solo in termini del quadripotenziale. Consideriamo il caso più semplice possibile: un monopolo magnetico, ossia una carica magnetica puntiforme. Cerchiamo di capire cosa accada al quadripotenziale. Si ha ${\rho }_m=g{\delta }^{(3)}(\overrightarrow{x})$ e ${\overrightarrow{j}}_m=0$; in termini di $\overrightarrow{B}$ ed $\overrightarrow{E}$, si ha:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=g{\delta }^{(3)}(\overrightarrow{x}),\overrightarrow{E}=0$

Una soluzione per l'equazione in $\overrightarrow{B}$ è (l'equazione è formalmente identica a quella di Coulomb):

$\overrightarrow{B}=\frac{g}{4\pi }\frac{\overrightarrow{x}}{r^3}$

(le altre equazioni non cambiano). Sicuramente, dunque, poiché $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}\ne 0$, non esisterà nessun campo $\overrightarrow{A}$ tale che $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}$; tuttavia, la divergenza di $\overrightarrow{B}$ è non nulla solo nell'origine: potremmo dunque definire $\overrightarrow{A}$ in $D:={ℝ}^3\setminus \{0\}$. Il problema è che $D$ è uno di quei domini nei quali molti risultati teorici (come il lemma di Poincaré) non si possono più applicare. Si ha che:

$\overrightarrow{A}=\frac{g}{4\pi }\frac{z}{r(x^2+y^2)}\left(\begin{array}{c}y\\ -x\\ 0\end{array}\right)$

è il campo che cerchiamo. In coordinate polari:

$\overrightarrow{A}=\frac{g}{4\pi }\frac{1}{r}\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ -\sin \phi \\ 0\end{array}\right)$

Esistono due singolarità: $r=0$ (e non ce ne dobbiamo preoccupare, perché $0\notin D$), e $\theta =0,\pi$. Quest'ultimo è solo un fatto matematico, che non ha senso fisico. Ci chiediamo dunque se esistano altre soluzioni che non siano singolari. La risposta è negativa, ma con una trasformazione di gauge si può eliminare o la divergenza per $\theta =0$ o quella per $\theta =\pi$. Infatti, se:

${\overrightarrow{A}}^{\prime }=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\lambda ,\lambda =\frac{g}{4\pi }\phi =\frac{g}{4\pi }\arctan \left(\frac{x}{y}\right)$

allora risulta che:

${\overrightarrow{A}}^{\prime }=\frac{g}{4\pi r}\frac{\cos \theta -1}{\sin \theta }\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ -\sin \phi \\ 0\end{array}\right)$

che non è più singolare in $\theta =0$ ( $\cos \theta \simeq 1-{\theta }^2/2$, quindi $\cos \theta /\sin \theta \simeq \theta$ ), anche se la singolarità per $\theta =\pi$ permane. Se invece ${\overrightarrow{A}}^{″}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\lambda$, si ha:

${\overrightarrow{A}}^{″}=\frac{g}{4\pi }\frac{\cos \theta +1}{\sin \theta }\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ -\sin \phi \\ 0\end{array}\right)$

che stavolta è singolare in $\theta =0$ e regolare in $\theta =\pi$.

Non è dunque possibile trovare un potenziale regolare dappertutto.

Un altro modo per vederlo è il seguente: chiamiamo $C_{\theta }$ la circonferenza composta dai punti di ascensione $\theta$ e $\overrightarrow{A}$ il quadripotenziale regolare per $\theta =0$; allora:

${\oint }_{C_{\theta }}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{x}={\int }_S\underset{B}{\underbrace{(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A})}}\cdot d\overrightarrow{\mathrm{\Sigma }}$

ove il passaggio è l'applicazione del teorema di Stokes, con $S$ la calotta sferica “superiore” (ossia quella che sta “sopra” $C_{\theta }$). Facciamo dunque aumentare $\theta$ finché $\theta =\pi$ (se $\theta \approx \pi$, $C_{\pi }$ è un cerchio piccolissimo attorno alla semiretta $\theta =\pi$); si ha ancora:

${\oint }_{C_{\pi }}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{x}={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\mathrm{\Sigma }}=g\ne 0$

ove abbiamo applicato il teorema di Gauss. Ma allora poiché la circuitazione di $\overrightarrow{A}$ è non nulla su $C_{\pi }$, si ha che $\overrightarrow{A}$ è singolare per $\theta =\pi$. Analogamente per il viceversa, ossia se consideriamo $\overrightarrow{A}$ singolare per $\theta =\pi$.

Dunque, il meglio che possiamo fare è “coprire” $D$ con due carte e definirci sopra un $\overrightarrow{A}$ regolare. Ad esempio:

$D_{-}={ℝ}^3\setminus \{\theta =\pi \}⟶{\overrightarrow{A}}^{\prime }{D}_{+}={ℝ}^3\setminus \{\theta =0\}⟶{\overrightarrow{A}}^{″}$

Nell'intersezione dei domini, ${\overrightarrow{A}}^{\prime }$ e ${\overrightarrow{A}}^{″}$ sono legati dalla trasformazione di gauge ${\overrightarrow{A}}^{\prime }-{\overrightarrow{A}}^{″}=2\mathrm{\nabla }\lambda$. In termini di geometria differenziale, $\overrightarrow{A}$ è la sezione di un fibrato non banale.