Elettrodinamica classica/La non invarianza delle equazioni di Maxwell

In questo corso utilizzeremo il cosiddetto sistema di unità di misura di Gauss razionalizzato. Con questa scelta, le equazioni di Maxwell si scrivono:

$\begin{array}{cccc}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}& =\rho & \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}& =0& \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B}-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}& =\frac{\overrightarrow{j}}{c}\end{array}$

Notare che, in questo sistema, i campi elettrico e magnetico hanno la stessa unità di misura. L'equazione per la forza di Lorentz, invece, è:

$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}}{c}\times \overrightarrow{B})$

Possiamo vedere anche da quest'ultima equazione che $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ hanno la stessa unità di misura: $\overrightarrow{v}/c$ è infatti un termine adimensionale; inoltre, sfruttando quest'equazione possiamo ricavare l'espressione della carica in funzione di altre unità di misura del Sistema Internazionale.

In ambito relativistico useremo anche unità di misura naturali, ponendo ad esempio $c=1$; per reintrodurla nelle equazioni si utilizzano considerazioni di tipo dimensionale.

Poste nella forma che abbiamo appena scritto, le equazioni di Maxwell sono inconsistenti col principio di relatività galileiano. Mostriamolo.

Supponiamo dunque di avere due sistemi di riferimento, che chiamiamo $K$ e $K^{\prime }$, cartesiani con assi paralleli. Consideriamo in $K$ un punto di raggio vettore $\overrightarrow{r}$, al quale associamo un istante $t$. Supponiamo che $K^{\prime }$ sia in moto rettilineo uniforme rispetto a $K$, e di modo tale che all'origine dei tempi i due sistemi di riferimento coincidano: sia ${\overrightarrow{v}}_{0}t$ il raggio vettore dell'origine di $K^{\prime }$ in $K$ (con ${\overrightarrow{v}}_0$, ovviamente, la velocità con la quale $K^{\prime }$ si sta muovendo rispetto a $K$). In $K^{\prime }$, lo stesso punto ha raggio vettore ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ e associato l'istante $t^{\prime }$. In questo modo:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{v}}_{0}t\\ t^{\prime }=t\end{array}\Rightarrow {\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0$

Vogliamo ora determinare delle trasformazioni fra $K$ e $K^{\prime }$ che lascino invariate in forma le equazioni di Maxwell come le abbiamo scritte prima.

Supponiamo dunque che sia l'equazione della forza di Lorentz a restare invariata. Si ha:

$K:m\overrightarrow{a}=q(\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}}{c}\times \overrightarrow{B})$

$K^{\prime }:m{\overrightarrow{a}}^{\prime }=q^{\prime }({\overrightarrow{E}}^{\prime }+\frac{{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{c}\times {\overrightarrow{B}}^{\prime })$

Come conseguenza delle trasformazioni di Galilei e della legge di composizione delle velocità, le accelerazioni sono le stesse nei due sistemi di riferimento, e quindi ${\overrightarrow{a}}^{\prime }=\overrightarrow{a}$; sperimentalmente risulta anche che $q=q^{\prime }$.

Dunque, in $K^{\prime }$:

$m{\overrightarrow{a}}^{\prime }=q^{\prime }({\overrightarrow{E}}^{\prime }+\frac{{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{c}\times {\overrightarrow{B}}^{\prime })\Rightarrow m\overrightarrow{a}=q({\overrightarrow{E}}^{\prime }+\frac{\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times {\overrightarrow{B}}^{\prime })$

Dobbiamo dunque trovare delle trasformazioni per $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ che rendano invarianti le equazioni di Lorentz per ogni $\overrightarrow{v}$. Si dovrà dunque avere:

${\overrightarrow{B}}^{\prime }=\overrightarrow{B}{\overrightarrow{E}}^{\prime }=\overrightarrow{E}+\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times \overrightarrow{B}$

Adesso, sfruttando queste leggi di trasformazione, vogliamo verificare se le equazioni di Maxwell siano effettivamente invarianti. Innanzitutto si ha:

$\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x^{\prime }}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial }{\partial x}\Rightarrow {\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$

$\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}=\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t^{\prime }}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t^{\prime }}=\frac{\partial }{\partial x^i}{v}_0^i+\frac{\partial }{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t^{\prime }}={\overrightarrow{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+\frac{\partial }{\partial t}$

Quindi, ad esempio, ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\cdot {\overrightarrow{B}}^{\prime }=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=0$. Inoltre:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\times {\overrightarrow{E}}^{\prime }+\frac{1}{c}\frac{\partial {\overrightarrow{B}}^{\prime }}{\partial t^{\prime }}& =\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{E}+\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times \overrightarrow{B})+\frac{1}{c}({\overrightarrow{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{B}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\ & =\underset{=0}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times \overrightarrow{B})+\frac{1}{c}({\overrightarrow{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{B}\end{array}$

Ora, poiché in generale

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{b})-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{a}$

e considerando che ${\overrightarrow{v}}_0$ non dipende da nessuna delle tre coordinate cartesiane (dunque $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{v}}_0/c=0$), si avrà:

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\times {\overrightarrow{E}}^{\prime }+\frac{1}{c}\frac{\partial {\overrightarrow{B}}^{\prime }}{\partial t^{\prime }}=\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\underset{=0}{\underbrace{(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B})}}-(\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{B}+\frac{1}{c}({\overrightarrow{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{B}=0$

Sembrerebbe dunque che tutto fili liscio. Però, considerando che ${\rho }^{\prime }=\rho$ (la carica e i volumi si conservano):

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\cdot {\overrightarrow{E}}^{\prime }=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times \overrightarrow{B})=\rho +\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\times \overrightarrow{B})$

Poiché, in generale, $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{b})$, allora si ha:

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\cdot {\overrightarrow{E}}^{\prime }=\rho +\overrightarrow{B}\cdot \underset{=0}{\underbrace{(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c})}}-\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B})=\rho -\frac{{\overrightarrow{v}}_0}{c}\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{(\frac{\overrightarrow{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t})}}\ne \rho$

Dunque, le equazioni di Maxwell \emph{non} sono invarianti. Lo stesso risultato si sarebbe potuto raggiungere imponendo che fossero altre equazioni ad essere invarianti, rispetto a quella usata da noi (l'equazione della forza di Lorentz).