Elettrodinamica classica/La rinormalizzazione

Dobbiamo riuscire a dare senso al limite

$\lim _{x\to y(s)}F_{\text{rad}}^{\mu \nu }(x)$

Sostituiamo dunque $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }(x)$ con un'altra funzione $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }(x)$, ove $\varepsilon$ è un parametro detto “di regolarizzazione”, definito in modo tale che $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }\xrightarrow {\varepsilon \to 0} F_{\text{rad}}^{\mu \nu }$ e che $\lim _{x\to y(s)}F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }(x)$ sia finito per $\varepsilon \neq 0$. In generale si richiede, poi, che $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }$ non rompa l'invarianza di Lorentz (anche se in generale non risolverà più le equazioni di Maxwell). In questo caso, una rinormalizzazione funzionante la si determina considerando il campo di Liénard–Wiechert e modificando le condizioni $(x-y({\bar {s}}))^{2}=0$ e $x^{0}-y^{0}({\bar {s}})>0$ con:

$(x-y({\bar {s}}))^{2}=\varepsilon ^{2}\quad x^{0}-y^{0}({\bar {s}})$

(che è una richiesta invariante di Lorentz). In questo modo, la soluzione ${\bar {s}}_{\varepsilon }$ è funzione di $\varepsilon$ e tale che ${\bar {s}}_{\varepsilon }\xrightarrow {\varepsilon \to 0} {\bar {s}}$. A questo punto, l'equazione di Lorentz della teoria regolarizzata sarebbe:

$m{\frac {du^{\mu }}{ds}}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }(y(s))u_{\nu }+eF_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }(y(s))u_{\nu }$

e $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }$ è ben definito. Rifacendo tutti i conti (che non vediamo), si trova che il limite di $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }$ per $\varepsilon \to 0$ è ancora divergente. Sono dunque necessarie altre modifiche, ad esempio in modo tale da introdurre nuove divergenze che eliminino quelle presenti. Ciò che si fa è modificare la massa della particella, ossia sostituire a $m$ la grandezza $m_{\varepsilon }$, di modo che l'ultima equazione abbia un limite finito per $\varepsilon \to 0$. Non è ovvio che questa strategia funzioni: ciò accade infatti solo se le divergenze dovute a $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }$ sono proporzionali a $du^{\mu }/ds$. Risulta che $m_{\varepsilon }$ dev'essere definita come:

$m_{\varepsilon }=m-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon }}.$

In questo modo, infatti, la divergenza introdotta da $m_{\varepsilon }$ si semplifica con quella di $F_{{\text{rad}},\varepsilon }^{\mu \nu }$. Una possibile interpretazione di questa definizione è che $m_{\varepsilon }$ è la massa della particella alla quale viene sottratto il contributo infinito dell'auto-energia. In conclusione, una soluzione completamente soddisfacente di questo problema non c'è.

Vediamo ora l'equazione che risulta nel limite $\varepsilon \to 0$. Sappiamo che:

${\frac {dP_{\text{rad}}^{\mu }}{ds}}=-{\frac {e^{2}}{6\pi }}w^{2}u^{\mu }$

(è la formula di Larmor relativistica). Se vogliamo scrivere un'equazione che esprima $dp^{\mu }/ds$, questa sarà del tipo:

${\frac {dp^{\mu }}{ds}}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }u_{\nu }-{\frac {dP_{\text{rad}}^{\mu }}{ds}}+\cdots \quad \Rightarrow \quad {\frac {dp^{\mu }}{ds}}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }u_{\nu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}w^{2}u^{\mu }+\cdots$

I puntini sono necessari perché altrimenti l'equazione non sarebbe consistente; se questi infatti non ci fossero, dato che $u_{\mu }dp^{\mu }/ds=0$, moltiplicando l'equazione per $u_{\mu }$ il primo membro sarebbe nullo, mentre il secondo no. È questa la più semplice equazione che possiamo scrivere che soddisfi la conservazione del quadrimpulso. Vogliamo vedere ora che, aggiungendo un termine, l'equazione diventa consistente, e prende il nome di equazione di Lorentz–Dirac, che è la stessa che si otterrebbe con la rinormalizzazione. Cerchiamo dunque di capire com'è fatto questo termine:

$w^{\mu }u_{\mu }=0\quad \forall s\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{ds}}(w^{\mu }u_{\mu })={\frac {dw^{\mu }}{ds}}u_{\mu }+w^{\mu }w_{\mu }=0$

Ora, però, $w^{2}u^{\mu }u_{\mu }=w^{2}=-{\frac {dw^{\mu }}{ds}}u_{\mu }$. Dunque:

${\frac {dp^{\mu }}{ds}}=eF_{\text{ext}}^{\mu \nu }u_{\nu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}w^{2}u^{\mu }+{\frac {e^{2}}{6\pi }}{\frac {dw^{\mu }}{ds}}.$

e adesso l'equazione è consistente; il termine che abbiamo aggiunto è detto termine di Schott. Notiamo che nell'equazione non consistente compare solo il quadrimpulso emesso all'infinito (è quello dovuto ai campi di accelerazione, che vanno come $1/r$ e quindi danno un contributo non nullo all'infinito), mentre il termine di Schott può essere pensato come il quadrimpulso emesso dalle particelle trasportato da campi che non sono di accelerazione (si tratta di impulso che “si perde” all'infinito). Notiamo poi che se assumiamo che all'infinito la quadriaccelerazione si annulli (com'è fisicamente ragionevole), oppure se il moto è periodico (integrando su un periodo), il termine di Schott non altera il quadrimpulso della particella:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dp^{\mu }}{ds}}\,ds=\cdots ={\frac {e^{2}}{6\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dw^{\mu }}{ds}}\,ds={\frac {e^{2}}{6\pi }}{\big (}w^{\mu }(+\infty )-w^{\mu }(-\infty ){\big )}.$