Elettrodinamica classica/Le distribuzioni in elettromagnetismo e le leggi di conservazione

Dunque, le grandezze con cui si ha a che fare in elettromagnetismo sono comunque da considerarsi distribuzioni. Ad esempio, per una carica puntiforme ferma si ha:

$\rho (t,\overrightarrow{x})=e{\delta }^{(3)}(\overrightarrow{x})\overrightarrow{j}(t,\overrightarrow{x})=0\overrightarrow{E}(t,\overrightarrow{x})=\frac{e}{4\pi }\frac{\overrightarrow{x}}{r^3}$

con $r=|\overrightarrow{x}|$. Vediamo cosa succede se proviamo a verificare la validità delle equazioni di Maxwell fuori dall'ambito distribuzionale. Innanzitutto notiamo che:

$\frac{\partial }{\partial x^i}{E}^j=\frac{e}{4\pi r^3}({\delta }^{ij}-3\frac{x^i{x}^j}{r^2})$

Pertanto:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}={\epsilon }^{ijk}{\partial }_j{E}_k=0$

perché ${\epsilon }^{ijk}$ è contratto coi tensori simmetrici ${\delta }_{jk}$ e $x_j{x}_k$. Inoltre:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}={\partial }_i{E}^i=\frac{e}{4\pi r^3}(3-3)=0$

Trattando quindi i campi come funzioni e non come distribuzioni si giunge ad assurdi; le relazioni che abbiamo usato sono infatti ben definite solo per $r\ne 0$. Vediamo quindi cosa cambia in ambito distribuzionale:

$\int {\partial }_i{E}^j\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=-\int E^j\frac{\partial }{\partial x^i}\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=-\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|>\epsilon }{E}^j\frac{\partial }{\partial x^i}\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=$

Ove l'ultimo passaggio è lecito in quanto l'integrale è convergente ($E^j\sim 1/r^2$); da notare anche che il primo integrale, pensato come integrale di funzioni, non è ben definito in quanto ${\partial }_j{E}^j\sim 1/r^3$ per $r\to 0$. Dunque:

$=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|>\epsilon }\left(\frac{\partial }{\partial x^i}{E}^j\right)\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}-\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|>\epsilon }\frac{\partial }{\partial x^i}(E^j\phi (\overrightarrow{x}))d^3\overrightarrow{x}$

Il secondo termine si calcola applicando il teorema di Gauss e trasformandolo in un integrale di superficie. Il contributo sul bordo all'infinito è nullo perché sia il campo elettrico sia $\phi$ si annullano all'infinito. Del secondo integrale resta dunque il contributo:

$\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|=\epsilon }{E}^j\phi (\overrightarrow{x})d{\mathrm{\Sigma }}_i$

ove $d{\mathrm{\Sigma }}_i=n_{i}d\mathrm{\Sigma }=n_{i}d\mathrm{\Omega }{\epsilon }^2$, e $n^i=x^i/r$ versore radiale (da notare che il contributo cambia segno perché $n^i$ è diretto verso l'esterno della palla di raggio $\epsilon$, mentre il versore uscente dal dominio $|x|>\epsilon$ punta verso il suo interno). Dunque, questo contributo è uguale a:

$\underset{\epsilon \to 0}{lim}\int {\epsilon }^2\frac{e}{4\pi }\frac{n^j}{{\epsilon }^2}{n}^i\phi (\overrightarrow{x})d\mathrm{\Omega }=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\int \frac{e}{4\pi }{n}^i{n}^j\phi (\overrightarrow{x})d\mathrm{\Omega }$

A questo punto, per determinare $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}$ si deve moltiplicare l'ultima espressione trovata di $\int {\partial }_i{E}^j\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}$ per ${\epsilon }^{ijk}$, e il risultato è $0$ perché il tensore antisimmetrico ${\epsilon }^{ijk}$ viene contratto con dei tensori simmetrici (${\delta }^{jk}$, $x^j{x}^k$ e $n^i{n}^j$); per determinare $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}$ invece si pone $i=j$, e quindi il primo integrale nell'espressione di $\int {\partial }_i{E}^j\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}$ è nullo, come avevamo già calcolato (stavolta il calcolo è lecito in quanto l'origine non appartiene al dominio d'integrazione). Resta dunque:

$\int {\partial }_i{E}^i\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|=\epsilon }\frac{e}{4\pi }{n}^i{n}_i\phi (\overrightarrow{x})d\mathrm{\Omega }=$

$=\frac{e}{4\pi }\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_{|x|=\epsilon }\phi (\overrightarrow{x})d\mathrm{\Omega }=\frac{e}{4\pi }\phi (0){\int }_{|x|=\epsilon }d\mathrm{\Omega }=\frac{e}{4\pi }\phi (0)\cdot 4\pi =$

$=e\phi (0)=\int e{\delta }^{(3)}(\overrightarrow{x})\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}$

Dunque, abbiamo mostrato che:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \frac{\overrightarrow{x}}{r^3}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\frac{1}{r}\right)=-{\mathrm{\nabla }}^2\frac{1}{r}=4\pi \delta (x)$