Elettrodinamica classica/Le divergenze ultraviolette

In linea di principio, però, questo problema è sempre presente. Ci chiediamo dunque se c'è un modo di formulare l'elettrodinamica tenendone conto; in altre parole, dobbiamo dare senso a:

$\underset{x\to y(s)}{lim}{F}_{\text{rad}}^{\mu \nu }(x)$

Si ha che $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }(x)\sim 1/|x-y(s){|}^2$ (ove compare il modulo quadro in quanto stiamo valutando il campo a piccole distanze dalla carica, dove dominano i termini di velocità), e se $x\to y(s)$ allora $s\to s$ (il ritardo si annulla avvicinandosi al punto di emissione). Dunque, il limite considerato diverge.

Questo tipo di divergenze sono dette “ultraviolette” perché hanno origine a piccole distanze dalla carica (e in meccanica quantistica, piccole distanze corrispondono a grandi energie). In elettrodinamica classica c'è un'altra divergenza ultravioletta legata a questa, detta problema dell'auto-energia di una particella, ad esempio di un elettrone. Data infatti una particella carica, questa genera un campo elettromagnetico che trasporta energia $ℰ$, detta auto-energia della particella. Detto dunque $r=|x-y(s)|$, si ha:

$ℰ=\int T_{\text{emg}}^{00}{d}^{3}r$

e:

$T_{\text{emg}}^{00}\sim (F^{\mu \nu }{)}^2\stackrel{r\to 0}{\sim }\frac{1}{r^4}$

Dunque:

$ℰ\sim \int \frac{1}{r^4}{d}^{3}r=\int {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{r^2}{r^4}drd\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\infty }$

ove l'integrale converge per $r\to \mathrm{\infty }$, ma diverge per $r\to 0$. La divergenza, poi, è lineare perché l'integrale va come $1/r$. È, questa, un'altra inconsistenza dell'elettromagnetismo classico, che rende il concetto stesso di massa di una particella non ben definito (poiché infatti massa e energia sono equivalenti in relatività, la massa delle particelle dovrebbe essere infinita).

Come si possono risolvere questi problemi? Ciò che in genere si fa in presenza di una divergenza è introdurre una rinormalizzazione, ossia si modifica la teoria per cercare di eliminare la divergenza. Vediamo meglio di cosa si tratta.