Elettrodinamica classica/Le grandezze del moto

Passiamo ora allo studio della cinematica relativistica.

La "traiettoria" di una particella si descrive in modo relativisticamente covariante fornendo una curva $x^{\mu }(\lambda )$ nello spaziotempo, ove $\lambda$ è un parametro. Questa curva descrive effettivamente la traiettoria di una particella se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

$\frac{d{x}^0}{d\lambda }>0{\left(\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\right)}^2={\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\ge 0$

La prima condizione implica che $x^0(\lambda )$ (il tempo) sia funzione monotona crescente del parametro $\lambda$, e perciò può essere invertita per determinare $\lambda$ in funzione del tempo. In questo modo la legge oraria $\overrightarrow{x}(t)$ può essere ricavata eliminando $\lambda$ in favore del tempo in $x^{\mu }$. Se riscriviamo in questo modo la seconda condizione:

$\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }={\left(\frac{dt}{d\lambda }\right)}^2\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\frac{d{x}_{\mu }}{dt}={\left(\frac{dt}{d\lambda }\right)}^2(1-v^2)\ge 0⟹v^2\le 1$

ci rendiamo conto di come essa sia necessaria affinché la particella non assuma velocità maggiori di $c$. Dato che in generale il cono luce di un quadrivettore $A^{\mu }$ è l'ipersuperficie individuata da $A^{\mu }{A}_{\mu }=0$, la seconda condizione seleziona per ogni $\lambda$ l'interno del cono luce della particella, mentre la prima condizione ne seleziona la metà che si trova nel futuro. Dunque, queste due condizioni assicurano che per ogni valore del parametro $\lambda$ la linea d'universo della particella sia sempre causale (cioè interna al cono luce, e tale che anche il suo vettore tangente lo sia) e diretta verso il futuro.

Vale inoltre l'invarianza per riparametrizzazione, ossia è sempre possibile effettuare il cambio di parametro $\lambda ⟶{\lambda }^{\prime }$ invertibile di modo tale che $x^{\mu }(\lambda )⟶x^{\mu }({\lambda }^{\prime }(\lambda ))={\tilde{x}}^{\mu }(\lambda )$, e $\tilde{x}$ rappresenta sempre la stessa traiettoria. Per via di questa "ridondanza", fra queste quattro le funzioni fisicamente rilevanti sono tre (si ha la stessa informazione che nel caso non relativistico): infatti una delle $x^{\mu }(\lambda )$ rappresenta il tempo della particella, e chiamandola ovviamente $x^0(\lambda )$ si può porre:

$x^0(\lambda )=t⟶\lambda =\lambda (t)x^i(t)⟶x^i(\lambda (t))$

L'informazione fisica rilevante è dunque contenuta in tre delle quattro funzioni.

Questa ridondanza può essere sfruttata per fare scelte particolarmente utili. Le due più importanti sono:

$\lambda =t$

Questo tipo di descrizione rompe esplicitamente l'invarianza di Lorentz. Con questa scelta si ha:

$x^{\mu }(t)=(t;x^i(t))\frac{d{x}^{\mu }}{dt}=(1;v^i(t))$

Notare che quest'ultimo non è un quadrivettore.

$\lambda =s$

In questo caso $s$ è il cosiddetto tempo proprio della particella, ossia il tempo misurato in un sistema di riferimento inerziale istantaneamente solidale con la particella. In questo caso si ha:

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{1-v^2}={\gamma }^{-1}$

Dal punto di vista geometrico, il $ds$ è la distanza invariante fra due punti infinitamente vicini sulla traiettoria spaziotemporale del corpo. Dunque:

$ds=\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }{\eta }_{\mu \nu }}d\lambda$

e, come noto $s$ è uno scalare di Lorentz, e questo è il motivo per il quale lo si usa molto spesso. Pertanto, $d{x}^{\mu }/ds$ è un quadrivettore, detto quadrivelocità:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds}$

Si ha che:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds}=\frac{dt}{ds}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}=\gamma (1;\overrightarrow{v})u^{\mu }{u}_{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\frac{d{x}_{\mu }}{ds}=\frac{ds}{ds}\frac{ds}{ds}=1$

In base a ciò si possono definire altre grandezze:

• Il quadrimomento: $p^{\mu }=m{u}^{\mu }$. Si ha che la sua componente temporale è l'energia della particella, mentre quella spaziale è il suo impulso
• La quadriaccelerazione: $w^{\mu }=\frac{d{u}^{\mu }}{ds}=\frac{dt}{ds}\frac{d}{dt}\gamma (1;\overrightarrow{v})$. Si vede facilmente che $w^{\mu }{u}_{\mu }=0$. Infine, $w^{\mu }{|}_{\overrightarrow{v}=0}=(0,\overrightarrow{a})$, ossia la quadriaccelerazione nel sistema di riferimento istantaneamente solidale con la particella ha come componenti spaziali l'accelerazione stessa della particella in un sistema di riferimento inerziale.