Elettrodinamica classica/Le trasformazioni infinitesime

Poiché $SO(1,3{)}_c$ è connesso, ha senso parlare di trasformazioni di Lorentz infinitesime, ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l’espressione delle trasformazioni finite.

Una trasformazione infinitesima sarà del tipo:

${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }={\delta }_{\nu }^{\mu }+{\mathrm{\Omega }}_{\nu }^{\mu }$

con $|{\mathrm{\Omega }}_{\nu }^{\mu }|\ll 1$; in notazione matriciale, $\mathrm{\Lambda }=1+\mathrm{\Omega }$. Vediamo dunque quali sono le proprietà che deve soddisfare Ω affinché questa sia una trasformazione di Lorentz. Poiché $|{\mathrm{\Omega }}_{\nu }^{\mu }|\ll 1$, nei conti trascureremo tutti i termini non lineari in $\mathrm{\Omega }$. Dunque, partendo dalla condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz:

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta ⟹(\mathrm{𝟏}+{\mathrm{\Omega }}^T)\eta (\mathrm{𝟏}+\mathrm{\Omega })=\eta ⟹\\ ⟹\eta +{\mathrm{\Omega }}^T\eta +\eta \mathrm{\Omega }+\underset{O({\mathrm{\Omega }}^2)}{\underbrace{{\mathrm{\Omega }}^T\eta \mathrm{\Omega }}}=\eta ⟹\\ ⟹{\mathrm{\Omega }}^T\eta =-\eta \mathrm{\Omega }\end{array}$

Se dunque definiamo $\omega =\eta \mathrm{\Omega }$, questa condizione è equivalente all'antisimmetria di $\omega$: ${\omega }^T=-\omega \Rightarrow (\eta \mathrm{\Omega }{)}^T=-\eta \mathrm{\Omega }\Rightarrow {\mathrm{\Omega }}_{\eta }^T=-\eta \mathrm{\Omega }$. Dunque, affinché una matrice $\mathrm{\Omega }$ rappresenti una trasformazione infinitesima è necessario che

${\omega }_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \rho }{\mathrm{\Omega }}_{\nu }^{\rho }$

sia antisimmetrica

Sfruttando questo fatto possiamo dedurre la dimensione dello spazio delle matrici di Lorentz. Essa infatti è uguale alla dimensione dello spazio delle matrici antisimmetriche $4\times 4$, che è 6. Di questi 6 parametri liberi, 3 corrispondono alle rotazioni tridimensionali e gli altri 3 ai boost lungo i tre assi. Il legame fra queste e $\omega$ è:

• Rotazioni: in questo caso $\omega$ ha entrambi gli indici spaziali, ${\omega }_{ij}=-{\omega }_{ji}$ e ${\omega }_{ij}={\epsilon }_{ijk}{\phi }^k$, ove ${\phi }^k$ ha il significato di angolo di rotazione attorno all'asse $k$.
• Boost: in questo caso gli indici di $\omega$ sono uno temporale e uno spaziale, ${\omega }_{i0}=-{\omega }_{0i}={\beta }_i$, ove ${\beta }_i$ è la velocità del boost lungo l'asse $i$.

Ora, come possiamo ricavare le trasformazioni finite da quelle infinitesime? Definendo:

$\mathrm{\Lambda }=e^{\mathrm{\Omega }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Omega }}^n}{n!}(=1+\mathrm{\Omega }+O({\mathrm{\Omega }}^2))$

allora vale la seguente proposizione.

Proposizione. La matrice $\mathrm{\Lambda }$ così costruita è una matrice del gruppo di Lorentz, cioè vale $(e^{\mathrm{\Omega }}{)}^T\eta e^{\mathrm{\Omega }}=\eta$.

Dimostrazione. Definiamo $\mathrm{\Lambda }(t)=e^{t\mathrm{\Omega }}$ e $f(t)={\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }-\eta$. Vogliamo dunque dimostrare che $f(0)=0\mathrm{\forall }t$ Innanzitutto si ha:

$f(0)=0=\underset{=1}{\underbrace{{\mathrm{\Lambda }}^T(0)}}\eta \underset{=1}{\underbrace{\mathrm{\Lambda }(0)}}-\eta =\eta -\eta =0$

Inoltre,

$\frac{\partial }{\partial t}f(t)=\frac{\partial }{\partial t}(e^{t\mathrm{\Omega }}{)}^T\cdot \eta e^{t\mathrm{\Omega }}+(e^{t\mathrm{\Omega }}{)}^T\eta \frac{\partial }{\partial t}{e}^{t\mathrm{\Omega }}$

e poiché

$\frac{\partial }{\partial t}{e}^{t\mathrm{\Omega }}=e^{t\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }{e}^{t\mathrm{\Omega }}$

allora

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}f(t)=(e^{t\mathrm{\Omega }}{)}^T{\mathrm{\Omega }}^T\eta e^{t\mathrm{\Omega }}+(e^{t\mathrm{\Omega }}{)}^T\eta \mathrm{\Omega }{e}^{t\mathrm{\Omega }}=\\ =(e^{t\mathrm{\Omega }}{)}^T({\mathrm{\Omega }}^T\eta +\eta \mathrm{\Omega })e^{t\mathrm{\Omega }}=0\end{array}$

ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che ${\mathrm{\Omega }}^T\eta =-\eta \mathrm{\Omega }$.

Si può verificare che, applicando questa procedura a casi particolari, ci si riconduce alle rotazioni e/o ai boost. Ad esempio, se $\omega$ è tale che ${\omega }_{12}=-{\omega }_{21}={\phi }_3$ e ${\omega }_{\mu \nu }=0$ se $\mu ,\nu \ne 1,2$, allora calcolando $\mathrm{\Omega }$ e $e^{\mathrm{\Omega }}$ si trova una rotazione di angolo ${\phi }_3$ attorno all’asse 3; partendo da ${\omega }_{01}=-{\omega }_{10}={\beta }_1$, invece, si ricava un boost di velocità ${\beta }_1$ lungo l’asse 1.