Elettrodinamica classica/Problema di Cauchy

Passiamo ora allo studio dei metodi di risoluzione delle equazioni di Maxwell:

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j^{\nu }$

pensate come equazioni per $A_{\mu }$.

Vogliamo risolvere il problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell. Notiamo preliminarmente che risolvere il problema alle condizioni iniziali è equivalente a determinare quanti (e quali) siano i gradi di libertà del campo elettromagnetico.

Esempio: Consideriamo una particella in una dimensione. La sua equazione dinamica sarà:

$F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

che è un'equazione del second'ordine per $x(t)$: dunque la soluzione esiste ed è unica se sono note $x(0)$ e $\frac{dx}{dt}(0)$. Ciò è equivalente a dire che il sistema ha un grado di libertà (del second'ordine).

Possiamo dunque dire che un sistema ha $n$ gradi di libertà (del second'ordine) se possiamo determinare univocamente una soluzione delle sue equazioni dinamiche con $2n$ condizioni iniziali. Sarà questa la nostra definizione di gradi di libertà di un sistema.

Proviamo a generalizzare il tutto ai campi, che in linea di principio avrebbero infiniti gradi di libertà. Diciamo che un campo ha $n$ gradi di libertà se è necessario fissare $2n$ funzioni di $\overrightarrow{x}$ per determinare univocamente una soluzione delle equazioni del moto dei campi. Queste $2n$ funzioni possiamo pensarle come i valori di ${\phi }_r(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0{\phi }_r(0;\overrightarrow{x})$.

Esempio: supponiamo di avere un campo $\phi (t;\overrightarrow{x})$ che soddisfa:

$◻\phi =P(\phi )$

con $◻={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }=({\partial }_0{)}^2-{\mathrm{\nabla }}^2$ operatore d'alembertiano e $P$ funzione generica di $\phi$ ma non delle sue derivate. Per determinare univocamente una soluzione di quest'equazione è necessario fissare $\phi (0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\phi (0;\overrightarrow{x})$. Dunque, detta $\phi (t;\overrightarrow{x})$ una soluzione:

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\phi (t;\overrightarrow{x})-{\mathrm{\nabla }}^2\phi (t;\overrightarrow{x})=P(\phi (t;\overrightarrow{x}))$

e sviluppandola in serie di Taylor attorno a $t=0$:

$\phi (t;\overrightarrow{x})=\phi (0;\overrightarrow{x})+t{\partial }_0\phi (0;\overrightarrow{x})+\frac{t^2}{2}{\partial }_0^2\phi (0;\overrightarrow{x})+\frac{t^3}{3!}{\partial }_0^3\phi (0;\overrightarrow{x})+\cdots$

Ora, $\phi (0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\phi (0;\overrightarrow{x})$ sono noti. Specificando l'equazione per la $\phi$ a $t=0$ si ha:

${\partial }_0^2\phi (0;\overrightarrow{x})={\mathrm{\nabla }}^2\phi (0;\overrightarrow{x})+P(\phi (0;\overrightarrow{x}))$

e dunque anche ${\partial }_0^2\phi (0;\overrightarrow{x})$ è noto. Pertanto, prendendo più volte ${\partial }_0$ ad ambo i membri di quest'ultima equazione, tutti i termini dell'espansione in serie di Taylor di $\phi$ sono noti. In sostanza, quindi, noti $\phi (0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\phi (0;\overrightarrow{x})$ si può "ricostruire" tutta la soluzione $\phi (t;\overrightarrow{x})$ a partire dall'equazione dinamica. Questo risultato si può inoltre estendere anche a $P$ qualunque, ossia funzione anche delle derivate di $\phi$.

Vogliamo dunque capire quanti e quali gradi di libertà abbia il campo elettromagnetico. Le equazioni di Maxwell si possono riscrivere come:

${\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })=j^{\nu }\Rightarrow ◻A^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }{A}^{\mu }=j^{\nu }$

Sembrerebbero quattro equazioni differenziali del tipo $◻A=f(A)$, e dunque potremmo pensare che il campo elettromagnetico abbia quattro gradi di libertà. In realtà, ciò non è vero per due motivi:

1) Non tutte le equazioni sono indipendenti. Scritte infatti nella forma:

$G^{\nu }:={\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }-j^{\nu }=0$

si ha:

${\partial }_{\nu }{G}^{\nu }={\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }-{\partial }_{\nu }{j}^{\nu }=0$

e pertanto le equazioni non risultano linearmente indipendenti. In particolare, si può scrivere:

${\partial }_0{G}^0+{\partial }_i{G}^i=0\Rightarrow {\partial }_0{G}^0=-{\partial }_i{G}^i$

Dunque, se $G^i(t;\overrightarrow{x})=0$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$ e $G^0(0;\overrightarrow{x})=0$, allora ${\partial }_0{G}^0=0$, ossia $G^0(t;\overrightarrow{x})=G^0(0;\overrightarrow{x})$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$; in altre parole, basta richiedere $G^0(t;\overrightarrow{x})=0$ solo per $t=0$, perché $G^0$ non dipende dal tempo. Quindi, ponendo $G^i(t;\overrightarrow{x})=0$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$ e $G^0(0;\overrightarrow{x})=0$ $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$ si ha $G^{\nu }=0$, ossia le equazioni di Maxwell sono risolte.

La prima è una vera e propria equazione dinamica, mentre la seconda non lo è: si tratta di un vincolo sui valori iniziali di $A^{\mu }(t;\overrightarrow{x})$. Si ha infatti:

$G^0={\partial }_i{F}^{i0}-j^0=-{\mathrm{\nabla }}^2{A}^0-{\partial }_i{\partial }^0{A}^i-j^0$

che non coinvolge derivate seconde rispetto al tempo (e quindi non è un'equazione dinamica); ci basta dunque porre un vincolo su $A^0$ e ${\partial }_0{A}^i$ per $t=0$. In realtà, dunque, non abbiamo quattro equazioni e quattro incognite, ma tre equazioni, un vincolo e quattro incognite.

2) L'invarianza di gauge. Il quadripotenziale è definito a meno di una trasformazione di gauge, e dunque esistono infinite soluzioni delle equazioni di Maxwell che sono fisicamente equivalenti. Per rimuovere questa "indeterminazione", poniamo una condizione di gauge fixing, ossia scegliamo fra tutti i possibili quaripotenziali associati a un dato campo elettromagnetico $F_{\mu \nu }$ un unico rappresentante. La scelta più conveniente in questo caso è la cosiddetta gauge di Lorenz:

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$

Mostriamo però che questa scelta della gauge è consistente, ossia mostriamo che a partire da un quadripotenziale arbitrario (dunque con ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }\ne 0$) è sempre possibile eseguire una trasformazione di gauge tale che il nuovo quadripotenziale $A{\text{'}}^{\mu }$ soddisfi la condizione di gauge-fixing, ossia ${\partial }^{\mu }A{\text{'}}^{\mu }=0$. Supponiamo dunque di avere un $A^{\mu }(x)$ dato con ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }(x)\ne 0$; allora $A{\text{'}}_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+{\partial }_{\mu }\mathrm{\Lambda }$, e:

${\partial }_{\mu }A{\text{'}}^{\mu }={\partial }_{\mu }{A}^{\mu }+{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\mathrm{\Lambda }\stackrel{!}{=}0\Rightarrow ◻\mathrm{\Lambda }=-{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }$

ove il secondo membro è noto. Sappiamo dunque che una soluzione di questa equazione esiste ed è unica una volta specificati $\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$. Sorge però un problema: la gauge di Lorenz non permette ancora di determinare univocamente il quadripotenziale. Infatti, se $\mathrm{\Lambda }$ soddisfa $◻\mathrm{\Lambda }=-{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }$ allora anche $\mathrm{\Lambda }+\tilde{\mathrm{\Lambda }}$ con $◻\tilde{\mathrm{\Lambda }}=0$ lo fa. La $\tilde{\mathrm{\Lambda }}$ è detta trasformazione di gauge residua, e poiché come vedremo più avanti $◻\tilde{\mathrm{\Lambda }}=0$ ammette infinite soluzioni, c'è una nuova "indeterminazione" in $A_{\mu }$, in quanto sia $A_{\mu }$ che $A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\tilde{\mathrm{\Lambda }}$ individuano gli stessi campi, ed esistono infinite $\tilde{\mathrm{\Lambda }}$ che soddisfano questa proprietà. Dobbiamo dunque porre nuove condizioni per fissare anche la gauge residua, ed esistono infiniti modi equivalenti per farlo. Ad esempio, possiamo porre $A^3(0;\overrightarrow{x})={\partial }_0{A}^3(0;\overrightarrow{x})=0$; mostriamo che è anche questa una scelta consistente: sia dunque $A_{\mu }$ un generico quadripotenziale (quindi in particolare con $A^3(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0{A}^3(0;\overrightarrow{x})$ non necessariamente nulli), e mostriamo che esiste un'unica trasformazione di gauge (ossia un'unica $\mathrm{\Lambda }$) con la quale $A{\text{'}}^3(0;\overrightarrow{x})={\partial }_{0}A{\text{'}}^3(0;\overrightarrow{x})=0$. Si ha:

$A{\text{'}}_3(0;\overrightarrow{x})=A_3(0;\overrightarrow{x})+{\partial }_3\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})\stackrel{!}{=}0\Rightarrow$

$\Rightarrow \mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{A}_3(0;\tilde{\overrightarrow{x}})d{\tilde{x}}^3+\text{cost.}$

e poiché (è sottinteso) vogliamo che le soluzioni ($A^{\mu }$ e $\mathrm{\Lambda }$) tendano a zero all'infinito, il valore della costante è determinato, e pertanto anche $\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$.

Con la stessa logica, si può determinare ${\partial }_0\mathrm{\Lambda }$:

${\partial }_{0}A{\text{'}}_3(0;\overrightarrow{x})={\partial }_0{A}_3(0;\overrightarrow{x})+{\partial }_3{\partial }_0\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})=0$

e integrando su $x^3$ si esplicita ${\partial }_0\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$. Così, poiché abbiamo determinato $\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\mathrm{\Lambda }(0;\overrightarrow{x})$, $\mathrm{\Lambda }$ è completamente determinato.

Ricapitolando, con la condizione di gauge ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$, le equazioni di Maxwell diventano $◻A^{\mu }=j^{\mu }$. Per determinarne una soluzione dobbiamo:

1. imporre $◻A^i=j^i$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$
2. imporre ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$
3. imporre $G^0(0;\overrightarrow{x})=0\Rightarrow -{\mathrm{\nabla }}^2{A}^0+{\partial }_i{\partial }^0{A}^i+j^0=0$ per $t=0$; $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
4. imporre $A^3(0;\overrightarrow{x})={\partial }_0{A}^3(0;\overrightarrow{x})=0$ per $t=0$; $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$

Mostriamo che esiste dunque un'unica soluzione se sono determinati $A^a(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0{A}^a(0;\overrightarrow{x})$ con $a=1,2$. Infatti, una volta specificate queste condizioni sono noti $A^i(0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0{A}^i(0;\overrightarrow{x})$ (grazie anche al punto 4), e pertanto esiste un'unica soluzione della condizione 1, e pertanto sono determinati gli $A^i(t;\overrightarrow{x})$ $\mathrm{\forall }t,\overrightarrow{x}$. Per la terza condizione, "invertendo" il laplaciano anche $A^0(0;\overrightarrow{x})$ è noto; sfruttando la condizione 2, ${\partial }_0{A}^0=-{\partial }_i{A}^i$, che è un'equazione del prim'ordine per $A^0$ della quale conosciamo la condizione iniziale. Pertanto, anche $A^0(t;\overrightarrow{x})$ è noto. I gradi di libertà del campo elettromagnetico sono dunque due. Ci proponiamo ora di costruire delle soluzioni esplicite delle equazioni di Maxwell.