Elettrodinamica classica/Reazione di radiazione

Fino ad ora abbiamo risolto le equazioni di Maxwell e di Lorentz:

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j^{\nu }$

$\frac{d{p}^{\mu }}{ds}=e{F}^{\mu \nu }(y(s))u_{\nu }$

e le abbiamo considerate come completamente indipendenti (per risolvere l'equazione di Maxwell supponevamo $j^{\nu }$ noto, e viceversa per risolvere l'equazione di Lorentz supponevamo $F^{\mu \nu }$ noto). In realtà, il tensore elettromagnetico $F^{\mu \nu }$ che compare nell'equazione di Lorentz è la somma di due termini: $F_{\text{ext}}^{\mu \nu }$, dovuto ai campi esterni, ed è la componente che abbiamo sempre supposto nota, e $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }$, il campo di radiazione prodotto dal moto delle cariche. Fino ad adesso, insomma, abbiamo trascurato $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }$; considerandolo, però, il sistema di equazioni appena visto diventa praticamente irrisolvibile, perché è un sistema di equazioni accoppiate. Il problema fondamentale che rende malposta tutta l'elettrodinamica è che $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }$ è valutato in $y(s)$, ossia nel punto in cui si trova la particella, e tipicamente i campi di radiazione divergono in quel punto.

Cerchiamo dunque di capire quando la reazione di radiazione è trascurabile, istantaneamente; vogliamo insomma capire quando è corretto trascurare, istante per istante, $F_{\text{rad}}^{\mu \nu }$ nella risoluzione delle equazioni di Maxwell e di Lorentz. Supponiamo di studiare ciò che avviene nel moto di una carica in un tempo $\mathrm{\Delta }t$, con $\mathrm{\Delta }t$ tempo caratteristico del fenomeno in esame (ossia $\mathrm{\Delta }v\sim v$ in $\mathrm{\Delta }t$), e cerchiamo di capire quando è lecito trascurare i termini di radiazione. Sono coinvolte due energie: $\mathrm{\Delta }\epsilon$, l'energia irradiata nel tempo $\mathrm{\Delta }t$, e $\mathrm{\Delta }{\epsilon }_0$, la variazione di energia dovuta alla forza esterna. Chiaramente, la reazione di radiazione è trascurabile se $\mathrm{\Delta }\epsilon \ll \mathrm{\Delta }{\epsilon }_0$. Per semplificare il tutto, supponiamo di essere in regime non relativistico, ossia $v\ll 1$; in caso contrario le conclusioni sarebbero comunque le stesse perché ci si può sempre portare nel sistema di riferimento di quiete istantanea della particella (consideriamo insomma il regime non relativistico perché i conti sono più semplici). Allora:

$\mathrm{\Delta }{\epsilon }_0=\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=mv\mathrm{\Delta }v\approx m(\mathrm{\Delta }v{)}^2$

e poiché $\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$:

$\mathrm{\Delta }{\epsilon }_0=m{a}^2(\mathrm{\Delta }t{)}^2.$

Inoltre, sfruttando la formula di Larmor:

$\mathrm{\Delta }\epsilon =\frac{e^2}{6\pi }{a}^2\mathrm{\Delta }t.$

Dunque:

$\mathrm{\Delta }\epsilon \ll \mathrm{\Delta }{\epsilon }_0\Rightarrow \frac{e^2}{6\pi m}\ll \mathrm{\Delta }t.$

Se quindi questa condizione è soddisfatta, la reazione di radiazione è trascurabile. Vediamo se è verificata nei casi concreti. Ricordando la definizione di raggio classico di una particella:

$r_0=\frac{e^2}{4\pi m},$

la condizione diventa, reintroducendo le $c$:

$\frac{2}{3}\frac{r_0}{c}\ll \mathrm{\Delta }t.$

Per brevità, poniamo $\tau :=\frac{2r_0}{3c}$; ad ogni particella abbiamo dunque associato un tempo, che è quello che impiega la luce a percorrere una distanza dell'ordine di $r_0$. Poiché $r_0$ è piccolissimo, in generale, allora anche $\tau$ è piccolissimo, e quindi $\tau \ll \mathrm{\Delta }t$. Ad esempio, per l'elettrone $r_0\approx 10^{-13}\text{cm}$, e dunque si ha $\tau \approx 10^{-23}\text{s}$; se dunque il tempo caratteristico di un fenomeno è molto maggiore di $10^{-23}\text{s}$ (cosa che avviene praticamente in qualunque fenomeno fisico), allora la reazione di radiazione è trascurabile. Per questo motivo, ai fini pratici questo processo può non essere considerato.