Elettrodinamica classica/Sistema con gradi di libertà finiti

Andiamo ora a studiare come le equazioni del moto di un sistema (con gradi di libertà sia finiti che infiniti, e quindi stiamo considerando sia sistemi composti da particelle che campi) possano essere ricavate con un principio variazionale.

Le leggi di conservazione che abbiamo visto finora non sono un “caso” dovuto alla struttura particolare delle equazioni del moto, ma derivano da un principio più profondo.

Supponiamo di avere un sistema con un numero finito $N$ di gradi di libertà, che indicheremo con ${\phi }_n(t)$ ($n=1,\dots ,N$). Come sappiamo, il nostro sistema sarà descritto dalla lagrangiana

$L({\phi }_n(t),{\dot{\phi }}_n(t))=\sum _{n=1}^N{L}_n({\phi }_n(t),{\dot{\phi }}_n(t))$

A partire da questa si può costruire l'azione del sistema:

$I={\int }_{t_1}^{t_2}L({\phi }_n(t),{\dot{\phi }}_n(t))dt$

che ovviamente è definita una volta determinati ${\phi }_n$ e ${\dot{\phi }}_n$. Da un punto di vista matematico, si tratta di un funzionale:

$I=I[{\phi }_n(t)]$

Le equazioni del moto del sistema sono equivalenti alle condizioni da porre sulle ${\phi }_n$ in modo da rendere $I$ stazionario:

$\delta I[{\phi }_n(t)]=\frac{d}{d\alpha }I[{\phi }_n(t)+ϵ\delta {\phi }_n(t)]{|}_{\alpha =0}=0\mathrm{\forall }\delta {\phi }_n$

ove $\delta {\phi }_n$ sono funzioni qualunque di $t$ ma tali che $\delta {\phi }_n(t_1)=\delta {\phi }_n(t_2)=0$.

Spesso si scrive anche:

$\delta I[{\phi }_n(t)]=(I[{\phi }_n+\delta {\phi }_n]-I[{\phi }_n]){|}_{\text{parte lineare in }{\phi }_n}$

La condizione $\delta I[{\phi }_n(t)]=0$ restituisce come condizioni sulle ${\phi }_n$ le equazioni di Eulero–Lagrange:

$\frac{\partial L}{\partial {\phi }_n}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{\phi }}_n}=0$

Il metodo variazionale è conveniente perché l'uso di una lagrangiana permette di capire facilmente le simmetrie di un sistema, e le simmetrie della lagrangiana “discendono” (vedremo poi come) alle equazioni del moto.