Elettrodinamica classica/Sistema con gradi di libertà infiniti

Vogliamo ora estendere il tutto a sistemi con infiniti gradi di libertà, come i campi.

Supponiamo dunque di avere dei campi di qualunque tipo ${\phi }_r(t,\overrightarrow{x})$ (con $r$ indice discreto del campo); assumiamo ad esempio che ${\phi }_r$ viva su una retta, e consideriamo dei punti $x_i$ su questa retta a distanza fissa $a$ fra di loro, e forniamo i valori $\phi (t,x_i)$ del campo in corrispondenza degli $x_i$. Si considera poi il limite $a\to 0$.

In generale un campo, dunque, può essere considerato come una collezione di funzioni ${\phi }_{\overrightarrow{x}}(t)$, una per ogni $\overrightarrow{x}$; la dipendenza di $\phi$ da $\overrightarrow{x}$ può essere dunque pensata come un indice (stavolta continuo, non più discreto). La lagrangiana di un sistema del genere, dunque, sarà del tipo:

$L={\int }_{{ℝ}^3}ℒ(\phi (t,\overrightarrow{x}),{\partial }_{\mu }\phi (t,\overrightarrow{x}))d^3\overrightarrow{x}$

ove $ℒ$ è detta densità di lagrangiana, e la derivata del campo è ${\partial }_{\mu }$ e non solo ${\partial }_0$ perché altrimenti non sarebbe invariante. La relativa azione sarà dunque:

$I={\int }_{t_1}^{t_2}Ldt=\int ℒ(\phi (x),{\partial }_{\mu }\phi (x),x)d^{4}x$

In linea di principio, $I$ potrebbe dipendere esplicitamente da $x$, ma nei casi che considereremo ciò non avverrà.

L'integrale in $d^{4}x$ che definisce $I$ è esteso alla regione di spaziotempo compresa fra gli istanti $t_1$ e $t_2$: la possiamo pensare come un cilindro le cui basi ${\mathrm{\Gamma }}_1$ e ${\mathrm{\Gamma }}_2$ sono lo spazio tridimensionale agli istanti $t=t_1$ e $t=t_2$, e il "bordo laterale" di questo cilindro è la sfera all'infinito, che indicheremo con ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}$.

Infine, le condizioni al contorno per i campi sono le solite: si assume che

$\underset{|\overrightarrow{x}|\to \mathrm{\infty }}{lim}\phi (t,\overrightarrow{x})=0$

abbastanza velocemente. Anche in questo caso le equazioni del moto discenderanno da:

$\delta I[\phi ,{\partial }_{\mu }\phi ]=0$

Le variazioni $\delta \phi$ dei campi sono funzioni che, come i campi, si annullano all'infinito abbastanza velocemente, ma si devono annullare anche agli istanti $t_1$ e $t_2$; perciò, si dovrà avere $\delta \phi (t_1,\overrightarrow{x})=\delta \phi (t_2,\overrightarrow{x})=0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$. La variazione di $I$ è definita esattamente come prima:

$\delta I=\frac{d}{d\alpha }I[\phi +\alpha \delta \phi ]{|}_{\alpha =0}$

Vediamo dunque che forma assumono le equazioni del moto dei campi:

$\begin{array}{cc}\delta I& =\int [\frac{\partial ℒ}{\partial \phi (x)}\delta \phi (x)+\frac{\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi (x)}\delta {\partial }_{\mu }\phi (x)]d^{4}x=\\ & =\int [\frac{\partial ℒ}{\partial \phi }\delta \phi -\frac{{\partial }_{\mu }\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi }\delta \phi +{\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi }\delta \phi \right)]d^{4}x=\\ & =\int [\frac{\partial ℒ}{\partial \phi }-\frac{{\partial }_{\mu }\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi }]\delta \phi d^{4}x+\underset{:=A}{\underbrace{\int {\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi }\delta \phi \right)d^{4}x}}\end{array}$

E poiché:

$A=\int \frac{\partial ℒ}{\partial {\partial }_0\phi }\delta \phi {|}_{{\mathrm{\Gamma }}_1}^{{\mathrm{\Gamma }}_2}{d}^3\overrightarrow{x}+{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}}d{\mathrm{\Sigma }}^i\frac{\partial ℒ}{\partial {\partial }_i\phi }\delta \phi dt=0$

(il primo contributo si annulla perché le variazioni di $\phi$ si annullano su ${\mathrm{\Gamma }}_1$ e ${\mathrm{\Gamma }}_2$, mentre il secondo perché le variazioni di $\phi$ si annullano all'infinito) allora si avrà:

$\delta I=\int [\frac{\partial ℒ}{\partial \phi }-\frac{{\partial }_{\mu }\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi }]\delta \phi d^{4}x=0\mathrm{\forall }\delta \phi ⟹\frac{\partial ℒ}{\partial \phi (x)}-\frac{{\partial }_{\mu }\partial ℒ}{\partial {\partial }_{\mu }\phi (x)}=0$

che sono proprio le equazioni di Eulero-Lagrange per i campi.

Affinché la nostra teoria abbia senso, bisogna che le equazioni del moto siano covarianti. Ciò avviene se $I$ è invariante di Lorentz; a sua volta, ciò accade se e solo se la densità di lagrangiana $ℒ$ è uno scalare di Lorentz:

$I={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}^{{\mathrm{\Gamma }}_2}ℒ(\phi (x),{\partial }_{\mu }\phi (x))d^{4}x$

$I^{\prime }={\int }_{\mathrm{\Gamma }{\text{'}}_1}^{\mathrm{\Gamma }{\text{'}}_2}ℒ({\phi }^{\prime }(x^{\prime }),\partial {\text{'}}_{\mu }{\phi }^{\prime }(x^{\prime }))d^4{x}^{\prime }={\int }_{\mathrm{\Gamma }{\text{'}}_1}^{\mathrm{\Gamma }{\text{'}}_2}ℒ({\phi }^{\prime }(x^{\prime }),\partial {\text{'}}_{\mu }{\phi }^{\prime }(x^{\prime }))d^{4}x$

e affinché $I=I^{\prime }$ è necessario che:

$ℒ({\phi }^{\prime }(x^{\prime }),\partial {\text{'}}_{\mu }{\phi }^{\prime }(x^{\prime }))=ℒ(\phi (x),{\partial }_{\mu }\phi (x))$

(ricordiamoci che i campi non sono necessariamente scalari, possono essere di qualunque tipo).

La densità di lagrangiana, poi, dev'essere locale. Ciò significa che dev'essere una funzione dei campi e delle loro derivate calcolati tutti nello stesso punto: l'evoluzione di un campo nel punto $x$ infatti può essere influenzata solo dai valori del campo e delle sue derivate prime in $x$. Ad esempio, la densità di lagrangiana:

$ℒ=\int \phi (x)\phi (y)(x-y{)}^2{d}^{4}y$

non è locale perché $\phi$ dipende sia da $x$ che da $y$, anche se è invariante di Lorentz.

La densità di lagrangiana, inoltre, non è unica: esistono più densità di lagrangiana che generano le stesse equazioni del moto, ad esempio moltiplicando i campi per una costante o aggiungendoci una derivata totale. Supponiamo ora che:

${ℒ}^{\prime }=ℒ+{\partial }_{\mu }{X}^{\mu }(\phi )$

con $X$ funzione generica. Allora:

$\begin{array}{c}{I}^{\prime }=\int {ℒ}^{\prime }{d}^{4}x=I+\int {\partial }_{\mu }{X}^{\mu }(\phi )d^{4}x=\\ =I+\int X^0(\phi (x))d^3\overrightarrow{x}{|}_{{\mathrm{\Gamma }}_1}^{{\mathrm{\Gamma }}_2}+{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}}{X}^{i}d{\mathrm{\Sigma }}_i(\phi )dt\end{array}$

Ora, il secondo integrale è nullo perché, poiché i campi si annullano all'infinito, anche una qualunque loro funzione lo fa. Il primo integrale, invece, è un funzionale dipendente dai valori di $\phi$ su ${\mathrm{\Gamma }}_1$ e ${\mathrm{\Gamma }}_2$: la variazione di questo termine è dunque nulla, perché nell'eseguirla si valutano variazioni dei campi sulle due ipersuperfici, dove si annullano. Pertanto:

$\delta I^{\prime }=\delta I$