Elettrodinamica classica/Soluzione delle equazioni di Maxwell

Tornando dunque al problema delle equazioni di Maxwell, vogliamo risolvere $◻A^{\mu }=j^{\mu }$ con la condizione ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$ e $j^{\mu }$ noto. Sappiamo già che si dovrà avere:

$A^{\mu }(x)=\int G_r(x-y)j^{\mu }(y)d^{4}y$

Usando

$G_r(x)=\frac{1}{4\pi |\overrightarrow{x}|}\delta (x^0-|\overrightarrow{x}|)$

dunque:

$A^{\mu }(x)=\int \frac{\delta (x^0-y^0-|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|)}{4\pi |\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{j}^{\mu }(y^0;\overrightarrow{y})d^{4}y=\frac{1}{4\pi }\int \frac{j^{\mu }(x^0-|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|;\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{d}^3\overrightarrow{y}$

Pertanto, la soluzione più generale possibile delle equazioni di Mawxell è:

$A^{\mu }(x^0;\overrightarrow{x})=\frac{1}{4\pi }\int \frac{j^{\mu }(x^0-|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|;\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{d}^3\overrightarrow{y}$

Il termine $x^0-|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|$ in $j^{\mu }$ tiene conto del ritardo dovuto al fatto che il campo si propaga alla velocità della luce, e non istantaneamente. Reintroducendo le $c$, quest'ultima equazione si può riscrivere come:

$A^{\mu }(x^0;\overrightarrow{x})=\frac{1}{4\pi }\int \frac{j^{\mu }(x^0-\frac{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{c};\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{d}^3\overrightarrow{y}$

Possiamo anche riscrivere $A^{\mu }$ sfruttando

$G_r(x)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{\Theta }(x^0)\delta (x^2)$

$A^{\mu }(x)=\frac{1}{2\pi }\int \mathrm{\Theta }(x^0-y^0)\delta ((x-y{)}^2)j^{\mu }(y)d^{4}y$