Elettrodinamica classica/Soluzioni dell'equazione di d'Alembert

Passiamo ora a studiare e risolvere le equazioni di Maxwell nel vuoto, ossia in assenza di cariche esterne.

$◻A^{\mu }=0{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$

Ognuna delle quattro equazioni $◻A^{\mu }=0$ sono del tipo $◻\phi =0$, con $\phi$ campo scalare. Dobbiamo quindi risolvere:

$◻\phi =0\phi (x)\stackrel{|x|\to \mathrm{\infty }}{\to }0$

detta equazione di d'Alembert. Sappiamo che $◻={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }$, e questo operatore è sostanzialmente l'estensione quadridimensionale del laplaciano ${\mathrm{\nabla }}^2={\delta }^{ij}{\partial }^i{\partial }^j$.

Supponiamo quindi di voler risolvere l'equazione di Laplace:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi (\overrightarrow{x})=0\phi (\overrightarrow{x})\stackrel{|\overrightarrow{x}|\to \mathrm{\infty }}{\to }0$

L'unica soluzione di queste equazioni con queste condizioni, però, è $\phi (\overrightarrow{x})=0$. Infatti, se vale l'equazione si avrà:

$0=\int \phi (\overrightarrow{x}){\mathrm{\nabla }}^2\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=-\int {\partial }_i\phi (\overrightarrow{x}){\partial }^i\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}+\underset{=0}{\underbrace{{\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}}\phi (\overrightarrow{x}){\partial }_i\phi (\overrightarrow{x})d{\mathrm{\Sigma }}^i}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \int {\partial }_i\phi (\overrightarrow{x}){\partial }^i\phi (\overrightarrow{x})d^3\overrightarrow{x}=0$

Poiché l'integrando è una somma di quadrati, ciò significa che ${\partial }_i\phi =0$ $\mathrm{\forall }i,\overrightarrow{x}$; pertanto $\phi$ è costante, e dovrà essere necessariamente nulla affinché venga soddisfatta la condizione $\phi (\overrightarrow{x})\stackrel{|\overrightarrow{x}|\to \mathrm{\infty }}{\to }0$.

Dunque, l'equazione di Laplace non ammette soluzioni che si annullano all'infinito che non siano banali.

Se però rieseguiamo lo stesso ragionamento per $◻\phi =0$, ciò non è più vero; risulta infatti:

$\int {\partial }_{\mu }\phi {\partial }_{\nu }\phi {\eta }^{\mu \nu }{d}^{4}x=0$

e poiché $\eta$ non è semidefinita positiva non si può concludere nulla (l'integrando non è più una somma di quadrati, o comunque non è in generale una quantità positiva). Per risolvere l'equazione di d'Alembert (supponendo ovviamente $\phi$ scalare di Lorentz, e che sia una distribuzione), passiamo alle trasformate di Fourier:

$\hat{\phi }(k)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int e^{-ikx}\phi (x)d^{4}x\phi (x)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int e^{ikx}\hat{\phi }(k)d^{4}k$

Notiamo innanzitutto che se $\phi$ è scalare di Lorentz anche la sua trasformata di Fourier lo è; infatti:

${\hat{\phi }}^{\prime }(k^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int e^{-i{k}^{\prime }{x}^{\prime }}{\phi }^{\prime }(x^{\prime })d^4{x}^{\prime }=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int e^{-ikx}\phi (x)d^{4}x=\hat{\phi }(k)$

perché $d^4{x}^{\prime }=d^{4}x$ per le proprietà delle trasformazioni di Lorentz, e $kx=k_{\mu }{x}^{\mu }$ e $\phi$ sono scalari di Lorentz. Le trasformate di Fourier in questo caso sono estremamente utili perché:

${\partial }_{\mu }\phi =\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int e^{ikx}(-i{k}_{\mu })\hat{\phi }(k)d^{4}k\Rightarrow \widehat{{\partial }_{\mu }\phi }=-i{k}_{\mu }\hat{\phi }$

Dunque:

$\widehat{◻\phi }=\widehat{{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\phi }=(i{k}_{\mu })(i{k}^{\mu })\hat{\phi }(k)=-k^{\mu }{k}_{\mu }\hat{\phi }(k)\Rightarrow \widehat{◻\phi }=0\iff k^{\mu }{k}_{\mu }\hat{\phi }(k)=0$

Ora, l'insieme dei punti con $k^{\mu }{k}_{\mu }=0$ è il cono luce dello spazio dei momenti $k$: ciò significa che $\hat{\phi }(k)$ è non nulla solo su questo cono luce. Poiché $\hat{\phi }(k)$ è scalare di Lorentz e le uniche sottovarietà invarianti del cono luce $k^{\mu }{k}_{\mu }=0$ sono l'origine e il cono stesso privato dell'origine, esistono due sole scelte possibili.

1) $\hat{\phi }(k)\ne 0$ solo se $k^{\mu }=0$; si potrebbe dunque avere qualcosa del tipo:

$\hat{\phi }(k)=c{\delta }^{(4)}(k)+c_{\mu }\frac{\partial }{\partial k^{\mu }}{\delta }^{(4)}(k)+\cdots \Rightarrow \phi (x)=\frac{c}{(2\pi {)}^2}+\frac{(i{x}^{\mu })}{(2\pi {)}^2}{c}_{\mu }+\cdots$

Ma in questo caso $\phi$ non si annulla all'infinito. Pertanto, non considereremo queste soluzioni in quanto non fisicamente rilevanti

2) $\hat{\phi }(k)\ne 0$ $\mathrm{\forall }{k}^{\mu }$ | $k^{\mu }{k}_{\mu }=0$ con $k^{\mu }\ne 0$. In questo caso, invece, si avrà:

$\begin{array}{cc}\hat{\phi }(k)& =\delta (k^{\mu }{k}_{\mu })f(k)=\delta ((k^0{)}^2-|\overrightarrow{k}{|}^2)f(k)=\\ & =[\frac{\delta (k^0-|\overrightarrow{k}|)}{2|k^0|}+\frac{\delta (k^0+|\overrightarrow{k}|)}{2|k^0|}]f(k^0;\overrightarrow{k})=\\ & =\frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}[\delta (k^0-|\overrightarrow{k}|)f(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})+\delta (k^0+|\overrightarrow{k}|)f(-|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})]\end{array}$

Quindi:

$\begin{array}{cc}\phi (x)& =\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}{e}^{ikx}[\delta (k^0-|\overrightarrow{k}|)f(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})+\delta (k^0+|\overrightarrow{k}|)f(-|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})]d{k}^0{d}^3\overrightarrow{k}=\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}[e^{i(|\overrightarrow{k}|x^0-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})}f(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})+e^{i(-|\overrightarrow{k}|x^0-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})}f(-|\overrightarrow{k}|;-\overrightarrow{k})]d^3\overrightarrow{k}=\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}[e^{ikx}f(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})+e^{-ikx}f(-|\overrightarrow{k}|;-\overrightarrow{k})]d^3{\overrightarrow{k}}_{|k^0=|\overrightarrow{k}|}\end{array}$

ove nella penultima riga abbiamo effettuato il cambio di variabile $\overrightarrow{k}\to -\overrightarrow{k}$ nel secondo addendo.

Affinché $\phi$ sia reale, per le proprietà delle trasformate di Fourier, si deve avere $f(-|\overrightarrow{k}|;-\overrightarrow{k})=f^{\ast }(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})$, e per brevità poniamo $f(|\overrightarrow{k}|;\overrightarrow{k})=\epsilon (\overrightarrow{k})$.

In questo caso, dunque:

$\phi (x)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}{[\epsilon (\overrightarrow{k})e^{-ikx}+{\epsilon }^{\ast }(\overrightarrow{k})e^{ikx}]}_{|k^0=|\overrightarrow{k}|}{d}^3\overrightarrow{k}=$

$=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}{[\epsilon (\overrightarrow{k})e^{-ikx}+\text{c.c.}]}_{|k^0=|\overrightarrow{k}|}{d}^3\overrightarrow{k}$

ove c.c. sta per "complesso coniugato". Notiamo che, poiché $\phi$ è sicuramente scalare di Lorentz, dalla sua espressione segue che anche $d^3\overrightarrow{k}/|\overrightarrow{k}|$ è invariante di Lorentz, fatto assolutamente non ovvio a priori. Ora, sappiamo già che $\phi$ ha un grado di libertà, cioè deve dipendere da due funzioni indipendenti; essendo però $\epsilon$ complessa, questa sarà esprimibile come una opportuna somma di due funzioni reali: ci deve dunque essere una relazione univoca che lega $\phi (0;\overrightarrow{x})$ e ${\partial }_0\phi (0;\overrightarrow{x})$ con $\epsilon (\overrightarrow{k})$.

La soluzione più generale possibile di $◻\phi =0$, dunque, è:

$\phi (x)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int \frac{1}{2|\overrightarrow{k}|}[\epsilon (\overrightarrow{k})e^{ikx}+\text{c.c.}]d^3{\overrightarrow{k}}_{|k^0=|\overrightarrow{k}|}$

Questa può essere vista come una sovrapposizione di soluzioni elementari ${\phi }_k=\epsilon (\overrightarrow{k})e^{ikx}+\text{c.c.}{|}_{k^0=|\overrightarrow{k}|}$, dette onde piane; se ad esempio $\overrightarrow{k}=\hat{z}|\overrightarrow{k}|$, allora:

${\phi }_k(x)=\epsilon (\overrightarrow{k})e^{i|\overrightarrow{k}|(t-|\hat{z}|)}+\text{c.c.}{|}_{k^0=|\overrightarrow{k}|}$

e i punti con fase costante, cioè i punti tali che $|\overrightarrow{k}|(t-|\hat{z}|)=\text{cost.}$ rappresentano dei piani ortogonali a $\hat{z}$, detti fronti d'onda, che si propagano alla velocità della luce. Queste onde sono anche monocromatiche, perché posseggono una frequenza ben precisa ($f=|\overrightarrow{k}|/2\pi =1/\lambda$); c'è da dire però che una singola onda piana non si annulla all'infinito, e pertanto considereremo, come soluzioni generali dell'equazione $◻\phi =0$, sovrapposizioni di onde piane, dette pacchetti d'onde.