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Corpo rigido

Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto corpo rigido.

Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente indeformabilità non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'acciaio, il alluminio, il vetro o il legno.

L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la gomma, oppure a metalli molto duttili come l'indio.

La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo:

la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa;
l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale.

In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà:

tre associati alla traslazione del centro di massa;
tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto)

La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto:

allo studio del moto del centro di massa;
allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa.

Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo.

Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma:

{\vec {R}}=M{\vec {a}}_{CM}\

(1)

{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}\

(2)

dove:

${\vec {R}}$ è la risultante delle forze esterne;
$M$ è la massa totale del corpo;
${\vec {a}}_{CM}$ è l’accelerazione del centro di massa;
${\vec {\tau }}$ è il momento risultante delle forze esterne;
${\vec {L}}$ è il momento angolare totale del corpo.

L’apice E è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema.

Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne:

\Delta E_{k}=W\

(3)

Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio.

Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza:

il moto traslatorio, nel quale l’orientazione del corpo rimane costante;
il moto rotatorio, nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso.

Moto traslatorio

Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa.

Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale.

La dinamica del corpo è interamente determinata dalla prima equazione cardinale della dinamica:

{\vec {R}}=M{\vec {a}}_{CM}\

dove ${\vec {R}}$ è la risultante delle forze esterne applicate e ${\vec {a}}_{CM}$ è l'accelerazione del centro di massa.

La quantità di moto totale del sistema è espressa da:

{\vec {P}}=M{\vec {v}}_{CM}\

Il momento angolare totale ${\vec {L}}$ , calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il primo teorema di König. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a:

{\bar {L}}={\vec {r}}_{CM}\times {\vec {P}}\

dove ${\vec {r}}_{CM}$ è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O.

Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la seconda equazione cardinale della dinamica:

{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}_{CM}}{dt}}\times {\vec {P}}+{\vec {r}}_{CM}\times {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec {v}}_{CM}\times (M{\vec {v}}_{CM})+{\vec {r}}_{CM}\times {\vec {R}}={\vec {r}}_{CM}\times {\vec {R}}

non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido.

Moto rotatorio

Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso.

Cinematica e convenzioni del moto rotatorio

Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione $\theta (t)$ (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione $\theta (t)$ rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio.

Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo $dt$ il corpo compie una rotazione angolare $d\theta$ . Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo $d{\vec {\theta }}$ : esso ha modulo pari a $d\theta$ , direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore).

Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione ${\vec {r}}$ rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo $d{\vec {s}}dat$ o da:

d{\vec {s}}=d{\vec {\theta }}\times {\vec {r}}

Dividendo per l'intervallo di tempo $dt$ , si ottiene la velocità lineare del punto:

{\vec {v}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}\times {\vec {r}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}

dove ${\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}$ è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, ${\vec {\omega }}$ è un vettore uscente dal piano.

Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto:

{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}

Il termine ${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}$ rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove ${\vec {\alpha }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$ è l'accelerazione angolare), mentre il termine ${\vec {a}}_{c}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$ rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori $d{\vec {\theta }}$ , ${\vec {\omega }}$ e ${\vec {\alpha }}$ sono sempre paralleli all'asse di rotazione.

Dinamica del moto rotatorio

Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo.

Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla seconda equazione cardinale della dinamica:

{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}

dove ${\vec {\tau }}$ è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e ${\vec {L}}$ è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare ( ${\vec {\alpha }}\neq 0$ ), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo.

Per quanto riguarda la prima equazione cardinale della dinamica ( ${\vec {R}}=M{\vec {a}}_{CM}$ ), si possono verificare due scenari:

L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla ( ${\vec {a}}_{CM}=0$ ). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla ( ${\vec {R}}=0$ ).

L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione $\theta (t)$ ), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente.

Moto rototraslatorio

I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo.

Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea ${\vec {\omega }}$ e dalla velocità lineare del polo scelto.

La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi

A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario.

La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni:

{\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AC}}\

{\vec {v}}_{D}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AD}}\

Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo:

{\vec {v}}_{D}-{\vec {v}}_{C}={\vec {\omega }}\times ({\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AC}})\

Poiché per la scomposizione vettoriale si ha ${\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {CD}}$ , la relazione si semplifica in:

{\vec {v}}_{D}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {CD}}

Quest'ultima è la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi.

Invarianza della velocità angolare

Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare ${\vec {\omega }}$ è lo stesso per qualunque polo scelto.

In altri termini, la velocità angolare ${\vec {\omega }}$ è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa).

La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa).
La descrizione della componente rotazionale ( ${\vec {\omega }}$ ) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo ${\vec {\omega }}$ può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di precessione).

Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del moto di puro rotolamento (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo.

Centro di massa di un corpo rigido

Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di atomi, viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica $\rho ({\vec {r}}$ ), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo $dV$ da essa occupato:

\rho ({\vec {r}})={\frac {dm}{dV}}

La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume:

M=\int _{V}\rho ({\vec {r}})dV\

(4)

Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo ( $\rho ({\vec {r}})={\text{costante}}$ ), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a:

M=\rho V

Nel Sistema Internazionale (SI) la densità si misura in ${\text{kg/m}}^{3}$ , sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del sistema CGS, ovvero il ${\text{g/cm}}^{3}$ (con la relazione $1{\text{ g/cm}}^{3}=1000{\text{ kg/m}}^{3}$ ). A titolo di esempio, l'acqua a $4{\text{ }}^{\circ }{\text{C}}$ ha una densità di circa $1{\text{ g/cm}}^{3}$ , mentre l'osmio è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di $22,66{\text{ g/cm}}^{3}$ .

Densità per sistemi a dimensionalità ridotta

A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili:

Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl:

\lambda ={\frac {dm}{dl}}

(Si vedano ad esempio i calcoli per il mezzo anello e il quarto di anello)

Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale $\sigma$ come la massa per unità di superficie $dS$ :

\sigma ={\frac {dm}{dS}}

Determinazione del Centro di Massa

Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di punti materiali:

{\vec {r}}_{CM}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{m}}

Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che $dm=\rho ({\vec {r}})dV$ , si ottiene:

{\vec {r}}_{CM}={\frac {\int _{V}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})dV}{m}}\!

(5)

Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare:

se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei).
se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano.

Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il  punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un  campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie  terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere.

Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del mezzo disco e mezza sfera, del quarto di disco e della sfera con foro.

Moto rotatorio e Momento di Inerzia

Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica.

Il momento angolare di un insieme discreto di punti materiali rispetto a un polo è definito come:

{\vec {L}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {m}}_{i}{\vec {v}}_{i}

Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo:

{\vec {L}}=\int _{M}{\vec {r}}\times {\vec {v}}dm

Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto.

Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile

Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.

Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale $M$ e raggio $R$ (il cui spessore sia trascurabile rispetto a $R$ ), in rotazione con velocità angolare ${\vec {\omega }}$ attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile.

In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo $v=\omega R$ ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante.

Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale $dL=R\cdot v$ $dm$ $=R^{2}\omega$ $dm$ . Poiché tutti i contributi vettoriali di ${\vec {L}}$ sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a ${\vec {\omega }}$ ), possiamo integrare direttamente i moduli:

{\vec {L}}=\left(\int _{M}R^{2}dm\right){\vec {\omega }}=R^{2}\left(\int _{M}dm\right){\vec {\omega }}=MR^{2}{\vec {\omega }}

Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare ${\vec {\omega }}$ tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia:

I=MR^{2}

{\vec {L}}=I{\vec {\omega }}

Il Momento di Inerzia per un corpo generico

In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica $v=\omega r$ rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza $r$ dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto.

Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia $I$ di un generico corpo rigido come la grandezza scalare:

I=\int _{M}r^{2}dm=\int _{V}r^{2}\rho ({\vec {r}})dV\!

(6)

dove $r$ rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume $dV$ .

Proprietà fondamentali del momento di inerzia

Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa $M$ rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia $I$ gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di $I$ aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione.
Dimensioni e natura geometrica: Nel Sistema Internazionale, il momento di inerzia si misura in ${\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}$ . Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti.
Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse:

I_{\text{tot}}=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{n}

Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi.

Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria

Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare ${\vec {L}}$ risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare ${\vec {\omega }},c$ onsentendo di scrivere la relazione lineare ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ .

Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne ${\vec {\tau }}$ rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di ${\vec {L}}$ ) è governato dalla seconda equazione cardinale della dinamica:

{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}

(7)

dove ${\vec {\alpha }}$ è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione.

Scegliendo l'asse di rotazione come asse $z$ di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti ( $\tau _{z}$ , $\omega _{z}$ , $\alpha _{z}$ ):

\tau _{z}=I\alpha _{z}=I{\frac {d\omega _{z}}{dt}}=I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}

Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio ( $F=ma$ ): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia $I$ , pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto.

Leggi orarie del moto rotatorio

A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto.

Rotazione uniforme ( $\tau _{z}=0$ ): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla:

\alpha _{z}=0

Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (

\omega _{z}=\omega _{0}

). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare

\theta (t)

è:

\theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}t

Rotazione uniformemente accelerata ( $\tau _{z}={\text{costante}}$ ): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante ( $\alpha _{z}=\alpha _{0}$ ). La velocità angolare varia linearmente:

\omega _{z}(t)=\omega _{0}+\alpha _{0}t

Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato:

\theta =\theta _{o}+\omega _{o}t+{\frac {1}{2}}\alpha _{o}t^{2}

(8)

Nel caso in cui il momento delle forze esterne $\tau _{z}$ sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta.

Momenti di inerzia

Asta rigida

Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza L e massa M attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare:

\lambda ={\frac {M}{L}}\!

Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia):

I_{c}=\int _{-L/2}^{L/2}r^{2}\lambda dr=\lambda \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{-L/2}^{L/2}\!

Un'asta rigida con un asse passante per estremo.

Da cui si ha che il momento di inerzia vale:

I_{C}={\frac {ML^{2}}{12}}\,\!

Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che:

I_{e}=\int _{0}^{L}r^{2}\lambda dr=\lambda \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{L}\!

I_{e}={\frac {ML^{2}}{3}}\,\!

Disco sottile

Un disco sottile omogeneo di raggio r e massa m ha una densità superficiale di:

\sigma ={\frac {M}{\pi r^{2}}}\!

nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio $0\leq R\leq r\!$ e quindi di superficie $dS=2\pi RdR\!$ , la cui massa vale

dm=\sigma 2\pi RdR\!

.

Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale:

I=\int _{0}^{r}R^{2}\sigma 2\pi RdR=2\pi \sigma \int _{0}^{r}R^{3}dR=\pi \sigma {\frac {r^{4}}{2}}\!

I={\frac {1}{2}}Mr^{2}\!

Guscio sferico

Un guscio omogeneo di raggio r e massa M ha una densità superficiale di:

\sigma ={\frac {M}{4\pi r^{2}}}\!

A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse $z\$ attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio $R\!$ , che dipende dall'angolo $\theta \$ tra $r\$ e $z\!$ :

R=r\sin \theta \qquad con\ 0\leq \theta \leq \pi \!

La cui superficie vale:

dS=2\pi Rrd\theta =2\pi r^{2}\sin \theta d\theta \!

Quindi la cui massa vale:

dm=2\pi r^{2}\sin \theta d\theta \sigma ={\frac {M}{2}}\sin \theta d\theta \!

dI_{z}={\frac {M}{2}}\sin \theta d\theta R^{2}={\frac {M}{2}}r^{2}\sin ^{3}\theta d\theta \!

I_{z}={\frac {M}{2}}r^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta d\theta ={\frac {M}{2}}r^{2}\left[-\cos \theta +\cos ^{3}\theta /3\right]_{0}^{\pi }={\frac {2}{3}}Mr^{2}\!

Sfera

Una sfera omogenea di raggio r e massa M ha una densità di:

\rho ={\frac {3M}{4\pi r^{3}}}\!

A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse $z\!$ attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico $0\leq R\leq r\!$ e spessore $dR\!$ il cui volume vale:

dV=4\pi R^{2}dR\!

Quindi di massa:

dm=\rho dV={\frac {3M}{4\pi r^{3}}}4\pi R^{2}dR={\frac {3M}{r^{3}}}R^{2}dR\!

Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a:

dI_{z}={\frac {2}{3}}dmR^{2}={\frac {2}{3}}{\frac {3M}{r^{3}}}R^{4}dR={\frac {2M}{r^{3}}}R^{4}dR\!

Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale:

I_{z}=\int _{0}^{r}dI_{z}={\frac {2M}{r^{3}}}\int _{0}^{r}R^{4}dR={\frac {2}{5}}Mr^{2}\!

Alcuni momenti di inerzia

Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi.

Descrizione	Figura	Momenti di inerzia
Due punti materiali M e m, con massa ridotta μ e a distanza, x.		$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$
Asta rigida di lunghezza L, massa M, spessore trascurabile, con asse ad un estremo .		$I_{\mathrm {end} }={\frac {ML^{2}}{3}}\,\!$
Asta rigida di lunghezza L, massa M, spessore trascurabile, con asse al centro .		$I_{\mathrm {center} }={\frac {ML^{2}}{12}}\,\!$
Anello di raggio r e massa M di spessore trascurabile.		$I_{z}=Mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {Mr^{2}}{2}}\,\!$
Disco di raggio r e massa M.		$I_{z}={\frac {Mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {Mr^{2}}{4}}\,\!$
Guscio cilindrico di raggio r e massa M.		$I=Mr^{2}\,\!$
Cilindro di raggio r, altezza h e massa M.		$I_{z}={\frac {Mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}M\left(3r^{2}+h^{2}\right)$
Tubo di raggio interno r₁, esterno radius r₂, lunghezza h e massa M.		$I_{z}={\frac {1}{2}}M\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)=Mr_{2}^{2}\left(1-t+{\frac {1}{2}}{t}^{2}\right)$ dove t = (r₂–r₁)/r₂ è il rapporto normalizzato dei raggi; $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}M\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$
Tetraedo di spigolo s e massa M.		$I_{solid}={\frac {Ms^{2}}{20}}\,\!$ $I_{hollow}={\frac {Ms^{2}}{12}}\,\!$
Ottaedro (vuoto) di spigolo s e massa M.		$I_{z}=I_{x}=I_{y}={\frac {5Ms^{2}}{9}}\,\!$
Ottaedro (pieno) di spigolo s e massa M		$I_{z}=I_{x}=I_{y}={\frac {Ms^{2}}{5}}\,\!$
Guscio sferico sottile di raggio r e massa M.		$I={\frac {2Mr^{2}}{3}}\,\!$
Sfera piena di raggio r e massa M..		$I={\frac {2Mr^{2}}{5}}\,\!$
Guscio sferico di raggio esterno r₂, interno r₂ e massa M.		$I={\frac {2M}{5}}\left[{\frac {{r_{2}}^{5}-{r_{1}}^{5}}{{r_{2}}^{3}-{r_{1}}^{3}}}\right]\,\!$
Cono retto con raggio r, altezza h e massa M.		$I_{z}={\frac {3}{10}}Mr^{2}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}M\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$
Toro di raggio a, raggio della sezione b e massa M.		${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)M$
Ellissoide di semiassi a, b, e c con massa M.		$I_{a}={\frac {M(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$ $I_{b}={\frac {M(a^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$ $I_{c}={\frac {M(a^{2}+b^{2})}{5}}\,\!$
Una sottile piatto lastra di altezza h, larghezza w e massa M.		$I_{c}={\frac {M(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$
Parallelepipedo di altezza h, larghezza w, spessore d, e massa M.		$I_{h}={\frac {1}{12}}M\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}M\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}M\left(h^{2}+w^{2}\right)$
Parallelepipedo di altezza D, larghezza W, lunghezza L, e massa M con la diagonale maggiore come asse.		$I={\frac {M\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$

Raggio di girazione (o raggio giratore)

Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ( $[{\text{M}}][{\text{L}}]^{2}$ ), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con $r_{g}$ .

Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia $I$ del corpo reale. In termini matematici:

I=Mr_{g}^{2}

Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione:

r_{g}={\sqrt {\frac {I}{M}}}

Considerazioni geometriche

Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota:

Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo ( $r_{g}=R$ ).
Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio $R$ (il cui momento di inerzia è $I={\frac {1}{2}}MR^{2}$ ), il raggio di girazione vale:
$r_{g}={\frac {R}{\sqrt {2}}}\approx 0,707,R$
Per una sfera piena omogenea di raggio $R$ (con $I={\frac {2}{5}}MR^{2}$ ), si ha:
$r_{g}={\sqrt {\frac {2}{5}}}R\approx 0,632,R$

In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza.

Teorema di Huygens-Steiner

Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da:

I=I_{c}+Md^{2}

Dove $I_{c}$ è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa.

La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle $x$ si trovi sulla congiungente i due assi.

In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è:

I_{c}=\int (x^{2}+y^{2})dm

Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse $z$ e che interseca l'asse $x$ a una distanza $d$ dall'origine) è:

I=\int \left[(x-d)^{2}+y^{2}\right]dm

Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene:

I=\int (x^{2}+y^{2})dm+d^{2}\int dm-2d\int xdm

Analizzando i tre integrali:

Il primo termine è proprio $I_{c}$ ;
Il secondo termine è $Md^{2}$ (poiché l'integrale di $dm$ è la massa totale $M$ del corpo);
L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale $\int xdm$ rappresenta la coordinata $x$ del centro di massa moltiplicata per la massa totale ( $M\cdot x_{cm}$ ). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha $x_{cm}=0$ .

Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare:

I=I_{c}+Md^{2}\

(9)

Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di due sfere unite.

Momento angolare nel caso generale

Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo:

{\vec {L}}=\int {\vec {r}}\times {\vec {v}}dm

Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse $z$ del sistema di riferimento cartesiano.

Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa:

({\vec {r}}\times {\vec {v}})_{z}dm=(x^{2}+y^{2})\omega dm

dove $(x^{2}+y^{2})$ rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento $dm$ dall'asse di rotazione $z$ . Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta:

L_{z}=I_{z}\omega

Questa componente viene normalmente chiamata momento angolare assiale. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione.

In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, ${\vec {L}}_{\bot }$ , che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme.

A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare ${\vec {\omega }}$ . Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale:

{\vec {L}}={\vec {L}}_{z}+{\vec {L}}_{\bot }\!

(10)

In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso.

Assi di simmetria di un corpo rigido

Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare ${\vec {L}}_{\bot }$ è nulla.

Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari.

Nel caso di un corpo a simmetria sferica, qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia.
Nel caso di un cilindro, l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa.

Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare ${\vec {L}}$ del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare ${\vec {\omega }}$ . Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse.

La costruzione di Poinsot permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti momenti principali di inerzia), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto ellissoide di inerzia.

L'operazione di equilibratura, eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il mozzo) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare ${\vec {L}}_{\bot }$ (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici.

Il moto di precessione

La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.

Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di precessione, il cui esempio classico è il movimento di una trottola.

Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale.

Esiste tuttavia anche la cosiddetta precessione libera (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare ${\vec {L}}$ rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a ${\vec {L}}$ , i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare ${\vec {\omega }}$ non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore ${\vec {L}}$ fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante.

Energia cinetica e lavoro

L'energia cinetica di un corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle:

E_{k}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm

Se il corpo è in rotazione attorno a un asse fisso, poiché la velocità di ogni elemento di massa vale $v=\omega r$ (dove $r$ è la distanza dall'asse), si ha che:

E_{k}={\frac {1}{2}}\int \omega ^{2}r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

Dove $I$ è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione fisso. Se l'asse di rotazione del corpo si trova a una distanza d dal centro di massa, applicando il teorema di Huygens-Steiner l'espressione diventa:

E_{k}={\frac {1}{2}}(I_{c}+Md^{2})\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I_{c}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\omega ^{2}d^{2}

Poiché la velocità del centro di massa in questo caso è data da $v_{CM}=\omega d$ , possiamo scrivere:

E_{k}={\frac {1}{2}}I_{c}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}

(11)

Questa espressione (vista nel capitolo precedente secondo teorema di König) ha una validità generale che va oltre il caso dell'asse fisso: essa vale infatti per un qualsiasi moto rototraslatorio, in cui si ha sia un moto del centro di massa ( $v_{CM}\neq 0$ ), sia una rotazione attorno a un asse istantaneo passante per esso. L'espressione separa nettamente l'energia cinetica in due contributi: l'energia cinetica rotazionale relativa al centro di massa e l'energia cinetica traslazionale del centro di massa stesso.

Il teorema dell'energia cinetica e il lavoro

Come già visto nella dinamica del punto materiale, il teorema dell'energia cinetica stabilisce un legame tra la variazione dell'energia cinetica e il lavoro compiuto dalle forze esterne:

dW=dE_{k}

Per quanto riguarda la parte puramente rotazionale, differenziando l'energia cinetica rispetto al tempo (o usando i differenziali relativi), il lavoro infinitesimo dW compiuto per una rotazione infinitesima $d\theta$ risulta:

dW=d\left({\frac {1}{2}}I_{z}\omega ^{2}\right)=I_{z}\omega d\omega =I_{z}{\frac {d\theta }{dt}}d\omega =I_{z}{\frac {d\omega }{dt}}d\theta =I_{z}\alpha d\theta

Essendo $I_{z}\alpha =\tau _{z}$ per la legge fondamentale della dinamica rotazionale, dove $\tau _{z}$ è la componente lungo l'asse del momento delle forze esterne applicate, si ottiene:

dW=\tau _{z}d\theta

Di conseguenza, il lavoro totale compiuto dal momento delle forze per ruotare il corpo rigido da un angolo iniziale $\theta _{1}$ a un angolo finale $\theta _{2}$ è pari alla variazione della sua energia cinetica rotazionale:

W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau _{z}d\theta ={\frac {1}{2}}I_{z}\omega _{2}^{2}-{\frac {1}{2}}I_{z}\omega _{1}^{2}

Se le forze agenti sul sistema sono conservative, il lavoro totale può essere espresso anche come la variazione negativa dell'energia potenziale del sistema:

W=-\Delta E_{p}

In questo caso, l'energia meccanica totale del corpo rigido — che include sia il contributo traslazionale che quello rotazionale — si conserva costante nel tempo:

{\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{c}\omega ^{2}+E_{p}={\text{costante}}

Moto di puro rotolamento

In fisica classica il moto di puro rotolamento è un moto rototraslatorio in cui un corpo rigido a simmetria circolare rotola su una superficie in modo tale che la velocità istantanea del punto di contatto sia nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto O (centro di rotazione istantaneo) che rimane fermo rispetto al piano. Questo tipo di moto descrive perfettamente il comportamento in condizioni normali della ruota, un'invenzione fondamentale per lo sviluppo della società moderna. La forza di attrito statico è l'agente fisico che garantisce l'immobilità del punto di contatto; si noti che dopo un tempo infinitesimo $dt$ il punto di contatto cambia, spostandosi sul punto immediatamente successivo della circonferenza.

Perché si verifichi questo moto, la sezione del corpo rigido lungo il piano del moto deve essere una curva a raggio costante $R$ (come nel caso di una ruota, un cilindro o una sfera).

Indichiamo con ${\vec {R}}$ il vettore che ha origine nel centro di massa del corpo rigido C e il secondo estremo nel punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare ${\vec {\omega }}$ è un vettore perpendicolare al piano del moto, passante per il centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere l'atto di moto di un qualsiasi punto come la combinazione della traslazione del centro di massa e della rotazione attorno a un asse passante per il centro di massa stesso. In particolare, la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione cinematica:

{\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

Imponendo la condizione di puro rotolamento ( ${\vec {v}}_{O}=0$ ), si ottiene:

{\vec {v}}_{C}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

Quindi, se il corpo trasla verso destra (come nella figura), la rotazione deve avvenire in senso orario. In modulo, la relazione diventa:

v_{C}=\omega R

Esiste cioè un legame cinematico rigido tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare. Derivando rispetto al tempo, se il moto del centro di massa è accelerato, anche la velocità angolare deve variare proporzionalmente, determinando la relazione tra l'accelerazione lineare e quella angolare $\alpha$ :

|a_{CM}|=|\alpha |R

Vale la pena di studiare alcuni casi particolari di forze applicate:

Moto con forza applicata sul centro di massa

Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio $R$ e massa $M$ su cui agisce una forza motrice $F$ applicata nel centro di massa e parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso tipico delle ruote non motrici, o condotte, di un'automobile). Le forze agenti sul corpo sono:

La forza $F$ trainante applicata nel centro di massa;
La forza di attrito statico $f$ esercitata dal piano;
La forza peso $Mg$ e la reazione vincolare normale $N$ .

Lungo la direzione verticale, la reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso:

N=Mg

Mentre lungo la direzione orizzontale, la prima equazione cardinale della dinamica si scrive:

F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}={\frac {F-f}{M}}

Per quanto riguarda la dinamica rotazionale (seconda equazione cardinale), scelto il centro di massa come polo e indicato con $I$ il momento di inerzia rispetto all'asse geometrico del corpo, l'unica forza che genera momento è l'attrito:

Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {R^{2}f}{I}}

Uguagliando le due espressioni tramite la condizione di puro rotolamento ( $a_{CM}=\alpha R$ ):

{\frac {F-f}{M}}={\frac {R^{2}f}{I}}

Risolvendo rispetto alla forza di attrito $f$ si ottiene:

f={\frac {F}{1+{\frac {MR^{2}}{I}}}}

La forza di attrito in modulo è quindi sempre inferiore alla forza trainante applicata. Poiché l'attrito è di natura statica, deve essere soddisfatta la condizione limite di aderenza:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg

Questo impone che, per garantire il puro rotolamento senza slittamento, la forza massima applicabile al centro di massa non debba superare il valore:

F_{max}=\mu _{s}Mg\left(1+{\frac {MR^{2}}{I}}\right)

Se venisse applicata una forza superiore a $F_{max}$ , la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a mantenere istantaneamente fermo il punto di contatto. Il corpo inizierebbe a strisciare e si avrebbe:

|{\vec {v}}_{C}|>|{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}|

All'aumentare della forza applicata, il moto traslatorio diventerebbe sempre più preponderante rispetto a quello rotatorio (slittamento in trazione).

La funzione dell'attrito statico è essenziale: esso genera il momento ( $fR$ ) necessario a far ruotare il corpo coerentemente con la sua traslazione. In assenza totale di attrito, il corpo si limiterebbe a traslare senza ruotare. Se la sezione del corpo non è perfettamente circolare, il moto nel punto di contatto diventa parzialmente traslatorio e l'attrito svolge un'azione frenante (dissipativa), come accade nel caso di pneumatici sgonfi. Se al posto di una forza trainante venisse applicata una forza frenante (opposta al moto), la forza d'attrito cambierebbe ugualmente verso; le equazioni resterebbero formalmente identiche e $F_{max}$ rappresenterebbe la massima forza frenante applicabile prima del bloccaggio della ruota.

Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse

Immaginiamo ora una ruota sul cui asse sia applicato direttamente un momento motore $\tau$ (il caso delle ruote motrici di un veicolo). Il moto si svolge su un piano orizzontale. Come evidenziato in figura, il verso della forza di attrito statico è opposto rispetto al caso precedente.

Mentre l'equilibrio verticale rimane $N=Mg$ , la prima equazione cardinale lungo l'asse del moto vede la sola forza di attrito come responsabile dell'accelerazione lineare:

f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}={\frac {f}{M}}

Per la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa, assumendo che il momento motore faccia ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento resistente opposto:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

Uguagliando le accelerazioni per la condizione di puro rotolamento:

{\frac {f}{M}}={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

Da cui si ricava il valore della forza d'attrito:

f={\frac {\tau }{R\left(1+{\frac {I}{MR^{2}}}\right)}}

In questo scenario, la forza d'attrito statico è a tutti gli effetti la forza motrice che causa l'avanzamento traslatorio del corpo. Imponendo la condizione limite $f\leq \mu _{s}Mg$ , si ottiene il momento massimo applicabile all'asse:

\tau _{max}=\mu _{s}MgR\left(1+{\frac {I}{MR^{2}}}\right)

Se il momento applicato supera $\tau _{max}$ , il moto rotatorio prevale su quello traslatorio: la ruota inizia a slittare sul posto (pattinamento), fenomeno tipico delle auto quando si accelera bruscamente su fondi a bassa aderenza. La ragione per cui gli pneumatici sono fatti di gomma è proprio quella di massimizzare il coefficiente di attrito statico $\mu _{s}$ con l'asfalto per permettere la trasmissione di momenti motori più elevati.

Nel caso di un momento frenante anziché motore, la forza di attrito invertirebbe il proprio verso fungendo da forza decelerante, ma l'espressione del momento massimo applicabile prima del pattinamento rimarrebbe la stessa.

Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata

Prendiamo in esame il caso di un corpo che sale lungo un piano inclinato di un angolo $\theta$ , spinto da un momento motore $\tau$ applicato al suo asse. Sul corpo agisce la forza peso, la quale si scompone in una componente parallela al piano $Mg\sin \theta$ (frenante) e una perpendicolare $Mg\cos \theta$ . La reazione vincolare normale bilancia la componente perpendicolare della gravità:

N=Mg\cos \theta

La prima equazione cardinale lungo la direzione del piano inclinato è:

Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta \rightarrow a_{CM}={\frac {f}{M}}-g\sin \theta

Per la componente rotazionale, supponendo una rotazione in senso orario, il momento dell'attrito si oppone al momento motore:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

Imponendo il vincolo di puro rotolamento ( $a_{CM}=\alpha R$ ), si isola la forza di attrito statico:

f={\frac {{\frac {\tau }{R}}+{\frac {Ig\sin \theta }{R^{2}}}}{1+{\frac {I}{MR^{2}}}}}

Applicando la condizione di non slittamento $f\leq \mu _{s}Mg\cos \theta$ , il momento massimo erogabile in salita risulta:

\tau _{max}=\mu _{s}MgR\cos \theta \left(1+{\frac {I}{MR^{2}}}\right)-{\frac {Ig}{R}}\sin \theta

Da questa relazione si evince che esiste un'inclinazione limite del piano oltre la quale non è matematicamente possibile alcun moto di puro rotolamento in salita, coincidente con il valore di $\theta$ per cui $\tau _{max}=0$ :

\theta _{max}=\arctan \left[\mu _{s}\left({\frac {MR^{2}}{I}}+1\right)\right]

Nel caso di moto in discesa ( $\theta <0$ ), il puro rotolamento è garantito da una combinazione cinematica in cui la forza d'attrito può anche annullarsi se viene applicato un preciso momento motore tale da equilibrare la componente della gravità ( $\tau /R=-Ig\sin \theta /R^{2}$ ). Se il momento applicato in discesa è inferiore a questa soglia, ovvero ${\frac {\tau }{MR}}<-{\frac {Ig\sin \theta }{R^{2}}}$ , la forza di attrito statico inverte il proprio segno rispetto a quello mostrato nella figura del piano inclinato.

Attrito volvente

Nel moto di puro rotolamento ideale, la forza di attrito statico non compie alcun lavoro meccanico e non dissipa energia. Questo avviene perché, sebbene il punto di contatto cambi continuamente nel tempo, la velocità istantanea del punto di applicazione della forza è rigorosamente nulla ( ${\vec {v}}_{O}=0$ ), annullando la potenza istantanea ( $P={\vec {f}}\cdot {\vec {v}}_{O}=0$ ).

Tuttavia, l'esperienza quotidiana mostra che qualsiasi corpo reale che rotola senza strisciare (como una biglia o una ruota d'auto) si ferma dopo un certo tempo se non viene spinto. Analogamente, se un piano inclinato ha una pendenza inferiore a un certo angolo critico, un oggetto cilindrico o sferico non inizierà a rotolare, rimanendo fermo.

Questo fenomeno non è spiegabile attraverso il modello ideale di corpo rigido e piano indeformabile, ma trova la sua giustificazione nell'attrito volvente, una forza di resistenza che nasce a causa delle deformazioni locali del corpo che rotola, del piano di appoggio, o di entrambi.

Il meccanismo fisico e l'equilibrio delle forze

Quando una ruota reale preme su una superficie, l'area di contatto non è una linea infinitesima, ma una porzione di superficie che si schiaccia sotto il carico. Come illustrato nella figura a lato, l'effetto combinato della rotazione e delle proprietà elastiche non ideali del terreno (o della gomma) rompe la simmetria geometrica delle pressioni verticali: il materiale davanti alla ruota si accumula e si oppone all'avanzamento, mentre il materiale sul retro non spinge abbastanza a causa dell'isteresi elastica.

Il risultato macroscopico di questa asimmetria è che la reazione vincolare normale complessiva ${\vec {N}}$ esercitata dal piano sul corpo non passa più per il centro geometrico della ruota, ma risulta spostata in avanti di una distanza $h$ rispetto alla verticale del centro di massa.

Modello fisico dell'attrito volvente: la reazione normale ${\vec {N}}$ è spostata in avanti di una distanza h rispetto alla verticale del centro di massa, contrastando la forza motrice ${\vec {F}}$ applicata all'asse.

Prendendo come polo il centro di massa della ruota di raggio $R$ , analizziamo l'equilibrio dinamico del sistema quando si applica una forza trainante ${\vec {F}}$ all'asse per mantenere il corpo in moto rettilineo uniforme (a velocità costante):

La reazione vincolare normale ${\vec {N}}$ (pari in modulo alla forza peso) è disassata e genera un momento frenante contrario al senso di rotazione:

\tau _{f}=hN

La forza trainante ${\vec {F}}$ applicata all'asse non genera momento rispetto al centro. Per vincere il momento resistente $\tau _{f}$ e mantenere il puro rotolamento, è necessaria la presenza di una forza di attrito d'interfaccia tangenziale ${\vec {F}}_{r}$ diretta all'indietro sul punto di contatto, che generi un momento motore $F_{r}R$ rispetto al centro.

Dall'equilibrio dei momenti rispetto al centro di massa ( $\Sigma \tau =0$ ) per una rotazione non accelerata si ricava:

F_{r}R=hN\rightarrow F_{r}={\frac {h}{R}}N

La forza $F_{r}$ (indicata comunemente come forza di attrito volvente) rappresenta la forza minima che la trazione ${\vec {F}}$ deve superare per mantenere il corpo in movimento.

Il parametro $h$ prende il nome di coefficiente di attrito volvente. A differenza del coefficiente di attrito radente (che è adimensionale), $h$ ha le dimensioni fisiche di una lunghezza e rappresenta la misura dello spostamento in avanti della reazione vincolare dovuto alla deformazione. Il rapporto $f_{v}=h/R$ viene invece definito coefficiente di attrito volvente adimensionale.

Dall'equazione si evince chiaramente una legge geometrica fondamentale: a parità di materiale ( $h$ ), le ruote con raggio $R$ maggiore risentono molto meno dell'attrito volvente rispetto a ruote più piccole, poiché il braccio della forza tangenziale è maggiore.

In condizioni ordinarie (ad esempio, una ruota d'acciaio su un binario ferroviario), le deformazioni sono minime, rendendo l'attrito volvente estremamente piccolo e nettamente inferiore all'attrito radente di strisciamento. Questo è il motivo tecnologico per cui il trasporto su rotaia è così efficiente energeticamente.

Al contrario, l'effetto diventa macroscopico quando i materiali sono facilmente deformabili. L'esempio tipico è un'automobile con i pneumatici sgonfi: la deformazione della gomma fa aumentare l'impronta a terra e sposta la reazione ${\vec {N}}$ ancora più in avanti (aumentando $h$ ), incrementando drasticamente il momento frenante. Di conseguenza, il veicolo decelera molto più rapidamente una volta spento il motore e richiede più carburante per mantenere la marcia. Un fenomeno analogo si osserva quando si tenta di far rotolare una biglia su un tappeto morbido o sulla sabbia, dove l'avvallamento generato davanti all'oggetto ne arresta quasi subito il moto. Un Esempio di attrito volvente.

Approfondimento — L'attrito volvente nel gioco del biliardo

Il tavolo da biliardo rappresenta un'applicazione tecnologica intenzionale dell'attrito volvente. Se le biglie (estremamente rigide) rotolassero su una superficie dura e liscia come il marmo nudo, l'attrito volvente sarebbe quasi nullo: le biglie continuerebbero a muoversi a lungo in modo caotico e incontrollabile.

Il panno morbido che riveste il tavolo (generalmente un misto di lana e nylon) serve proprio a generare una deformazione locale controllata:

Controllo del gioco: Il peso della biglia affonda impercettibilmente nel tessuto, creando quel piccolo "rigonfiamento" anteriore che sposta in avanti la reazione normale di una distanza $h$ . Questo momento frenante costante permette alla biglia di arrestarsi entro i confini del tavolo in modo prevedibile.
Transizione al puro rotolamento: Quando la biglia viene colpita dalla stecca, inizialmente striscia sul tavolo (attrito radente). La trama del panno offre la presa necessaria per farle raggiungere rapidamente e linearmente la condizione cinematica di puro rotolamento ( $v_{CM}=\omega R$ ).
Effetti speciali: Colpendo la biglia al di sotto del suo centro (effetto retrò), essa avanza ruotando all'indietro. La deformazione e la porosità del panno permettono alla biglia di "aggrapparsi" al tessuto e invertire la sua traiettoria traslazionale non appena l'attrito radente cessa.

Pendolo composto

Chiamiamo pendolo composto (o fisico) un corpo rigido vincolato a oscillare in un piano verticale attorno a un asse orizzontale fisso non passante per il suo centro di massa.

Spostando il pendolo dalla sua posizione di equilibrio di un angolo $\theta$ , il momento della forza peso tende a riportare il corpo verso la posizione di equilibrio verticale. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo, è parallelo all'asse di rotazione z e vale:

\tau ={-{MgL}}\sin {\theta }

dove $M$ è la massa totale del corpo e $L$ è la distanza cinematica tra il centro di rotazione (punto di sospensione) e il centro di massa del corpo rigido (si presti attenzione a non confondere questo simbolo con il momento angolare).

Supponendo trascurabile l'attrito meccanico attorno all'asse e assumendo che le reazioni vincolari dei supporti abbiano momento nullo lungo l'asse stesso, la seconda equazione cardinale della dinamica applicata alla componente assiale diventa:

{\frac {dL_{z}}{dt}}=I_{z}\alpha =I_{z}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-MgL\sin \theta

avendo indicato con $I_{z}$ il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione orizzontale. Riorganizzando i termini, si ottiene l'equazione differenziale del moto:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {MgL}{I_{z}}}\sin \theta =0

Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola ( $\theta \ll 1\ radianti$ ), è possibile ricorrere allo sviluppo di Taylor per approssimare la funzione trigonometrica con il suo argomento: $\sin \theta \approx \theta$ . L'equazione si riduce quindi a:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {MgL}{I_{z}}}\theta =0

Questa è l'equazione differenziale canonica di un moto armonico semplice, la cui legge oraria (equazione oraria) è espressa da:

\theta (t)=\theta _{0}\sin \left(\Omega t+\varphi _{0}\right)

La pulsazione del moto è data da:

\Omega ={\sqrt {\frac {MgL}{I_{z}}}}

di conseguenza, il periodo di oscillazione $T$ vale:

T={\frac {2\pi }{\Omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{z}}{MgL}}}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

La grandezza geometrica $l={\frac {I_{z}}{ML}}$ prende il nome di lunghezza ridotta del pendolo composto. Essa rappresenta la lunghezza ideale che dovrebbe avere il filo di un pendolo semplice (ossia una massa puntiforme) per oscillare con lo stesso identico periodo del corpo rigido in esame.

Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande, l'approssimazione lineare viene meno: il pendolo si muove ancora di un moto periodico, ma non è più rigorosamente armonico (il periodo inizia a dipendere dall'ampiezza massima dell'oscillazione).

Esempio svolto sul pendolo composto detto anche pendolo fisico.

Impulso angolare

Nel caso in cui un momento delle forze ${\vec {\tau }}$ sia applicato a un corpo rigido per un intervallo di tempo limitato $\Delta t$ , si definisce impulso angolare (o momento impulsivo) la grandezza vettoriale:

{\vec {J}}_{\tau }=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {\tau }}dt

Se il momento può essere considerato costante o mediato nell'intervallo di tempo, l'espressione si semplifica in ${\vec {J}}_{\tau }={\vec {\tau }}\Delta t$ .

Per la seconda equazione cardinale della dinamica, l'azione di un impulso angolare su un corpo rigido determina una variazione analoga del suo momento angolare complessivo:

{\vec {J}}_{\tau }=\Delta {\vec {L}}

cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutti gli altri momenti agenti possono essere trascurati.

Esempio pratico

Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza  $\ell =42{\text{ cm}}</text_{f}ormat>(ovvero<math>0{,}42{\text{ m}}$ ) e massa  $M=2{,}05{\text{ kg}}$ , incernierata a un estremo tramite un perno fisso orizzontale. La sbarretta può muoversi liberamente in un piano verticale.

Se viene applicato un impulso angolare pari a  $J_{\tau }=1{\text{ kg m/s}}$ , la sbarretta si metterà in rotazione. Poiché il suo momento d'inerzia rispetto all'estremo incernierato è dato da:

I_{c}={\frac {1}{3}}M\ell ^{2}={\frac {1}{3}}\cdot 2{,}05{\text{ kg}}\cdot (0{,}42{\text{ m}})^{2}\approx 0{,}12{\text{ kg m}}^{2}

il corpo acquisterà una velocità angolare pari a:

\omega ={\frac {J_{\tau }}{I_{c}}}={\frac {1}{0{,}12}}\approx 8{,}3{\text{ rad/s}}

Di conseguenza, l'energia cinetica rotazionale iniziale sarà:

E_{k}={\frac {1}{2}}I_{c}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\cdot 0{,}12\cdot (8{,}3)^{2}\approx 4{,}15{\text{ J}}

Per il principio di conservazione dell'energia meccanica, questa energia cinetica si trasformerà interamente in energia potenziale gravitazionale nel punto più alto della traiettoria ( $E_{p}=Mgh=E_{k}$ ). L'altezza massima  $h$  raggiunta dal centro di massa sarà quindi:

h={\frac {E_{k}}{Mg}}={\frac {4{,}15}{2{,}05\cdot 9{,}81}}\approx 0{,}21{\text{ m}}

Dato che il centro di massa si trova a metà della sbarretta ( $\ell /2=0{,}21{\text{ m}}$ ), un'altezza  $h=0{,}21{\text{ m}}$  significa che la sbarretta si porta in posizione perfettamente orizzontale, compiendo esattamente un quarto di giro.

Statica dei corpi rigidi

La statica è la branca della meccanica razionale che studia le condizioni di equilibrio dei corpi. Mentre per un punto materiale l'equilibrio si riduce alla semplice assenza di forze nette, per un corpo rigido la situazione è più complessa: non dobbiamo solo evitare che il corpo si sposti (moto di traslazione), ma dobbiamo anche assicurarci che non inizi a girare su se stesso (moto di rotazione).

Dal punto di vista matematico, la condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido inizialmente in quiete si mantenga in equilibrio statico è che siano annullate contemporaneamente la risultante delle forze esterne e la risultante dei momenti delle forze esterne.

Le equazioni cardinali della statica si esprimono quindi come:

{\vec {R}}=\sum {\vec {F}}_{i}=0

{\vec {\tau }}=\sum {\vec {\tau }}_{i}=0

Analizziamo nel dettaglio il significato di queste due condizioni:

Annullamento della risultante delle forze ( ${\vec {R}}=0$ ): Questa prima equazione garantisce l'equilibrio alla traslazione. Significa che l'accelerazione del centro di massa del corpo è nulla. Se il corpo è inizialmente fermo, il suo centro di massa rimarrà immobile.
Annullamento del momento risultante ( ${\vec {\tau }}=0$ ): Questa seconda equazione garantisce l'equilibrio alla rotazione. Il momento totale delle forze (indicato anche con ${\vec {\tau }}$ ) deve essere nullo rispetto a qualsiasi polo scelto come riferimento. Se questa condizione è soddisfatta e il corpo è fermo, esso non subirà alcuna accelerazione angolare, evitando di ruotare.

Se la risultante delle forze è strettamente nulla ( ${\vec {R}}=0$ ), il valore del momento risultante ${\vec {\tau }}$ è indipendente dal polo scelto. Questo è un grande vantaggio pratico negli esercizi, poiché permette di scegliere come polo il punto più conveniente (ad esempio, il punto in cui si applicano le forze incognite che si vogliono eliminare dai calcoli).

In sintesi, l'equilibrio statico perfetto si ottiene solo quando il corpo non subisce traslazioni del centro di massa né rotazioni attorno a un qualsiasi asse.

Applicazioni pratiche ed esempi

Per comprendere come queste equazioni si traducano in vincoli fisici e forze di reazione, è utile analizzare alcuni scenari classici di forze contrapposte, attriti e fulcri.

Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi:

Scala appoggiata a una parete con una persona: un classico problema in cui l'attrito del terreno e le reazioni vincolari della parete devono compensare la forza peso della scala e dell'uomo, evitando sia lo scivolamento sia il ribaltamento.
Asta orizzontale vincolata con un carico: un esempio che mostra come un fulcro o una fune di sostegno debbano generare un momento opposto a quello creato dal carico sospeso per mantenere l'asta in posizione perfettamente orizzontale.

Bibliografia

P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica), 2ª ed., ISBN 978-88-7959-418-9, Edises, 2007.

Altri progetti

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