Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Rappresentazione dei numeri frazionari

Il computer memorizza numeri con la parte frazionaria usando la virgola mobile (floating-point), un’idea simile alla notazione scientifica: si salva il segno, una mantissa (le cifre significative) e un esponente (che dice dove “mettere” il punto binario, cioè il radix point). Siccome i bit disponibili sono finiti, i numeri reali vengono spesso approssimati e possono comparire errori di arrotondamento/troncamento.

Come funziona l’esempio a 8 bit (semplificato)

Con 1 byte:

• 1 bit di segno: 0 = positivo, 1 = negativo
• 3 bit di esponente: memorizzato in “excess notatiion” (vedi modulo precedente)
• 4 bit di mantissa: le cifre significative del numero in binario

Per decodificare un byte:

1. prendi la mantissa e metti il punto binario a sinistra (tipo .1011)
2. leggi l’esponente (con la codifica excess) e sposta il punto a destra o sinistra
3. applica il segno

Normalizzazione (normalized form)

Quando si memorizza un numero, si copiano i bit nella mantissa partendo dal primo 1 più a sinistra della rappresentazione binaria. Questo evita rappresentazioni multiple dello stesso valore (cioè rende la forma “unica”).

• Per tutti i numeri non zero, la mantissa in forma normalizzata inizia con 1.
• Zero è un caso speciale: tutti i bit a 0.

Formati reali: single e double precision

Il byte a 8 bit è solo didattico. Nella pratica:

• Single precision (32 bit): 1 segno, 8 esponente, 23 mantissa → circa 7 cifre decimali di precisione
• Double precision (64 bit) → circa 15 cifre decimali di precisione Più bit nella mantissa = meno errore, ma l’errore non sparisce sempre.

Errori di troncamento (truncation / round-off)

Se la mantissa non è abbastanza lunga, alcuni bit “in fondo” vengono tagliati e il numero memorizzato diventa leggermente diverso. Esempio: un valore come 2⅝ in binario richiede più bit di quelli disponibili e quindi viene salvato come un valore più vicino ma non uguale.

Un’altra fonte di errore è che alcuni numeri hanno espansioni non terminanti in binario (come 1/10), quindi non possono essere rappresentati esattamente con un numero finito di bit. Per questo, ad esempio, per denaro spesso conviene usare interi (centesimi) invece di float.

Perché l’ordine delle somme conta

Quando sommi numeri in virgola mobile, se aggiungi un numero molto piccolo a uno molto grande, il piccolo può “sparire” per troncamento. Per ridurre l’errore, conviene spesso sommarli dal più piccolo al più grande, così i piccoli si accumulano prima di essere confrontati col grande.

I software moderni di solito mascherano questi problemi, ma in applicazioni sensibili (es. navigazione, calcoli scientifici) anche piccoli errori possono propagarsi e diventare importanti.

Esempi

Ecco alcuni esempi di conversione decimale ↔ floating point notation usando il formato di esempio a 8 bit:

• 1 bit segno
• 3 bit esponente in excess-4 (bias=4) ⇒ valore_esponente = exp_bits − 4 (000→−4, 001→−3, 010→−2, 011→−1, 100→0, 101→+1, 110→+2, 111→+3)
• 4 bit mantissa in forma normalizzata: copi i bit a partire dal primo 1 e metti il punto binario a sinistra della mantissa (tipo .1001), poi sposti il punto di valore_esponente.

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Floating → Decimale

Esempio A: 0 110 1011

• segno = 0 ⇒ positivo
• exp = 110 = 6 ⇒ 6−4 = +2
• mantissa = 1011 ⇒ .1011₂ Sposta il punto di +2: .1011₂ → 10.11₂ 10.11₂ = 2 + 1/2 + 1/4 = 2.75 Risultato: 2.75

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Esempio B: 0 011 1100

• segno 0 ⇒ positivo
• exp 011=3 ⇒ 3−4 = −1
• mantissa 1100 ⇒ .1100₂ Sposta di −1: .1100₂ → .01100₂ .01100₂ = 1/4 + 1/8 = 0.375 Risultato: 0.375

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Esempio C (negativo): 1 101 1000

• segno 1 ⇒ negativo
• exp 101=5 ⇒ 5−4 = +1
• mantissa 1000 ⇒ .1000₂ Sposta di +1: .1000₂ → 1.000₂ = 1 Applica segno: −1 Risultato: −1.0

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Decimale → Floating

Regola pratica

1. Converti in binario.
2. Scrivi i bit a partire dal primo 1 nella mantissa (4 bit).
3. Considera la mantissa come .mmmm e scegli l’esponente come numero di spostamenti del punto per tornare al numero originale.
4. Codifica l’esponente in excess-4.
5. Metti il segno.

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Esempio D: 1.125 (cioè 1 + 1/8)

1.125₁₀ = 1.001₂

Mantissa: prendo dal primo 1 → 1001 ⇒ .1001₂

Per ottenere 1.001₂ da .1001₂ devo spostare il punto di +1: .1001 → 1.001

Esponente = +1 ⇒ in excess-4: +1 + 4 = 5 ⇒ 101

Segno 0

Byte: 0 101 1001

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Esempio E: 0.375

0.375₁₀ = 0.011₂

Primo 1: 11… ⇒ mantissa 1100 ⇒ .1100₂

Da .1100₂ per ottenere 0.011₂ devo spostare −1: .1100 → .01100

Esponente = −1 ⇒ −1+4=3 ⇒ 011

Segno 0

Byte: 0 011 1100

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Esempio F (troncamento): 2.625 (2 + 5/8)

2.625₁₀ = 10.101₂

Prendo dal primo 1: 10101… ma ho solo 4 bit ⇒ mantissa 1010 (perdo l’ultimo 1) ⇒ .1010₂

Per tornare vicino a 10.101₂ devo spostare di +2: .1010 → 10.10₂ (=2.5)

Esponente +2 ⇒ +2+4=6 ⇒ 110

Segno 0

Byte memorizzato: 0 110 1010 che vale 2.5, non 2.625 → errore di troncamento.