Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

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Introduzione

Sistemi di punti e corpo rigido Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di punti e corpo rigido

Dinamica dei sistemi di punti

Centro di massa Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
Conservazione della quantità di moto Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
Sistema di riferimento del centro di massa Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
Mutua interazione: problema dei due corpi Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
Teorema di König per l'energia cinetica Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
Sistemi a massa variabile Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
Moto di un razzo Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo

Seconda legge cardinale

Statica, urti e rotolamento

Appendice

Formulario Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Formulario

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Trattiamo brevemente il caso in cui, a un corpo rigido, è applicata una coppia di forze parallele di verso opposto. Vettorialmente, $\vec{f_{2}} = - \vec{f_{1}}$ . Nell'esempio più semplice possibile, prendiamo due punti materiali, uniti da una sbarretta rigida di massa trascurabile, ai quali vengono applicate le due forze: il loro effetto è causa una rotazione dell'asta che unisce i due punti con velocità angolare $ω$ .

L'effetto è spiegato dalla seconda legge cardinale. Il momento delle forze esterne non è nullo; chiamata $b$ la lunghezza della corda e $r_{1} = r_{2}$ le distanze dei due punti dal centro di massa, avremo:

$\vec{τ} = \sum_{i} \vec{r_{i}} \land \vec{f_{i}} = \vec{r_{1}} \land \vec{f_{1}} + \vec{r_{2}} \land \vec{f_{2}} = (\vec{r_{1}} - \vec{r_{2}}) \land \vec{f_{1}} = b f$

Il risultato è, ovviamente, il modulo del momento causato dalla coppia di forze, ovvero il modulo di una delle due forze moltiplicato per la distanza tra i due punti di applicazione. In questo caso abbiamo però considerato le due forze uguali e discordi; se fossero state di modulo differente e verso concorde, andavano calcolati i momenti delle forze, che avrebbero avuto senso discorde (perché avrebbero causato due rotazioni di verso opposto) e il maggiore avrebbe prevalso.

Per chiudere il modulo, sfruttiamo l'esempio del sistema composto da due punti materiali uniti. Calcoliamo allora il momento angolare del sistema:

$\begin{matrix} \vec{J} = & \sum_{i} \vec{r_{1}} \land m \vec{v_{i}} = \vec{r_{1}} \land m \vec{v_{1}} + \vec{r_{2}} \land m \vec{v_{2}} = \\ \frac{b}{2} m v_{1} + \frac{b}{2} m v_{2} \end{matrix}$

Nell'ultimo passaggio abbiamo considerato i moduli. Ricordiamo che $v = ω r$ e, in questo caso, $v_{1} = v_{2} = ω \frac{b}{2}$ ; sostituendo:

$| \vec{J} | = 2 (ω m \frac{b^{2}}{4}) = I ω$

Infatti il fattore $2 m \frac{b^{2}}{4}$ corrisponde al momento d'inerzia del sistema, definito dalla somma $\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$ . Vettorialmente avremo:

$\vec{J} = I \vec{ω}$

A questo punto, possiamo scrivere la seconda legge cardinale in un altro modo, che stavolta descrive appieno la rotazione del sistema:

${\vec{τ}}^{e x t} = \frac{d \vec{J}}{d t} = \frac{d}{d t} (I \vec{ω}) = I \frac{d \vec{ω}}{d t} = I \vec{α}$

Dove $\vec{α}$ è l'accelerazione angolare del sistema.