L'ultimo teorema di Fermat/Appendice: differenze tra le versioni

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== Teorema di Pitagora==
{{vedi pedia|Teorema di Pitagora}}
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, esistono molte dimostrazioni, opera di astronomi, agenti di cambio, e anche una di Leonardo da Vinci. Probabilmente, insieme alla reciprocità quadratica, si contende la palma del teorema con più dimostrazioni in assoluto. Lo si dimostrerà in modo grafico utilizzando solamente concetti di geometria elementare. Non verrà riportata la dimostrazione di Pitagora essendo molto complessa e non immediata.
 
<center>a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup></center>
 
Come si voleva dimostrare. ÉÈ da notare che la dimostrazione è generica ed effettivamente copre ogni triangolo rettangolo possibile dato che nella dimostrazione non si sono utilizzati numeri o altro ma solo generici segmenti lunghi '''a''', '''b''' e '''c'''. La dimostrazione dipende unicamente dal fatto che i triangoli siano rettangoli e dal fatto che si sta utilizzando la geometria di Euclide.
 
Questa è una piccola galleria di alcune dimostrazioni geometriche del teorema anche se come si è detto sopra le dimostrazioni sono moltissime e difatti vi sono anche dimostrazioni puramente algebriche, dimostrazioni che utilizzano i numeri complessi e perfino dimostrazioni scritte sotto forma di sonetti.
 
== Teorema fondamentale dell'aritmetica ==
Il''' Teorema fondamentale dell'aritmetica''' afferma che ''ogni numero naturale che non sia 1 ammette una ed una sola fattorizzazione in numeri primi pur di non tener conto dell'ordine dei fattori''. (L'esclusione di 1 è dovuta al fatto che esso non ha fattori primi.) Questo teorema era alla base delle dimostrazioni di Gabriel Lamé e Augustin Luis Cauchy e come si è detto in generale non vale nei numeri complessi quindi non può essere utilizzato per il teorema di Fermat ma data la sua importanza si è deciso di includere comunque la dimostrazioni nell'appendice.
 
L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2*5*7 mentre 100 equivale a 2*2*5*5 ovvero 2<sup>2</sup>*5<sup>2</sup>, ed è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. Viceversa la dimostrazione generale è piuttosto lunga: eccone una traccia. Si tratta di una dimostrazione per assurdo: si parte cioè dall'ipotesi contraria a quella dell'enunciato per poterne dimostrare l'infondatezza.
In qualunque modo sia fattorizzabile il secondo fattore nella <math> \left[ 5 \right] </math>, avremo ottenuto una fattorizzazione di ''n'' che contiene <math>p_1</math>, e che pertanto è diversa da quella nella <math> \left[ 3 \right] </math>, contrariamente all'ipotesi che ''m'' fosse il numero più piccolo che ammettesse più di una fattorizzazione.
 
Il teorema è pertanto dimostrato. <math>\square</math>
 
== Principio di Induzione ==
{{vedi pedia|Principio di induzione}}
Il Principio di induzione afferma che
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Se <math>U</math> è un sottoinsieme dell'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali che verifica le seguenti due proprietà:
* <math>U</math> contiene lo <math>0</math>,
* ogni volta che <math>U</math> contiene un numero <math>n</math>, <math>U</math> contiene anche il numero successivo <math>n+1</math>,;
allora <math>U</math> coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali <math>\mathbb N</math>
</blockquote>
* ''Base dell'induzione'': dobbiamo dimostrare che l'affermazione <math>P(n)</math> è vera per <math>n=0</math>, cioè, sostituendo, che <math>0=\frac{0\cdot 1}2</math>, e in effetti c'è ben poco da lavorare, si tratta di un calcolo elementare;
* ''Passo induttivo'': dobbiamo mostrare che per ogni ''n'' vale l'implicazione <math>P(n)\Rightarrow P(n+1)</math>, cioè, sostituendo:
:<math>0+1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \quad \Rightarrow \quad 0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)([(n+1)+1)]}{2}</math>
 
Dunque dobbiamo assumere che sia vero
:<math>0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}2</math>,
:<math>0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>,
:<math>0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)([(n+1)+1)]}{2}</math>
e quest'ultima uguaglianza è esattamente <math>P(n+1)</math>. Questo conclude la dimostrazione del ''passo induttivo''.
 
 
:: '''Nota''': Questa proprietà si può invertire solo se ''k'' è diverso da 0.
 
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[[Categoria:L'ultimo teorema di Fermat]]
{{Avanzamento|50100%|28 dicembre 2007}}
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