Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni

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Definizione 1.1.1 Definiamo l'insieme dei numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali con somma e prodotto definiti come

E' facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta' algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si puo' scrivere come

dove 1= (0,1).

L'analogia tra ed (e' immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero

definiamo il coniugato
la parte reale
la parte immaginaria
il modulo

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si puo' ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si puo' quindi scrivere come

evidentemente per z = 0 la forma polare e' mal definita.

e' il modulo di e l' argomento , che e' definito a meno di multipli interi di . Il valore principale dell'argomento e' il valore scelto in , . Definendo poi tramite la formula di Eulero (relazione che sara' giustificata in seguito) avremo .

TEOREMA 1.1.2. Le quantita' sopra definite godono di una serie di proprieta' algebriche: siano , con e

(1)
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(6)

Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare uno spazio metrico.