Template:Corso di Analisi Complessa
- Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale
di Riemann, oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
.
Definzione 4.1.1.Sia dato un intervallo
, con.
Si definisce partizione di
un insieme finito di punti tali che
Scriveremo inoltre .
Se ora e' una funzione reale limitata definita su
, e una partizione di
poniamo
dove e
sono calcolati al variare di tutte le partizioni di
, e i due integrali si dicono rispettivamente
integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, si dice
Riemann-integrabile (
), e definiamo l'integrale di Riemann di
su il valore comune dei due integrali,
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono
tali che
per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e' detto che abbiano lo stesso valore.
se e solo se per ogni
esiste una partizione
tale che
Se tale condizione e' verificata per la partizione
e allora