Analisi complessa/Serie di potenze

Serie di potenze

Successioni nel campo complesso

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di $C$. In particolare, sara' utile costruire legami tra le successioni in $C$ e le successioni in $R$.

Definizione 1.5.1

Una successione in $C$ e' una funzione $\mathbb {N} \rightarrow C$ , che indichiamo come un insieme di valori con indice, $z_{n}$. Diciamo che una successione converge a $z$ , o che $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z$ se $\forall \epsilon >0:\exists N:n>N\Rightarrow |z_{n}-z|<\epsilon$ . Una serie e' una somma infinita $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$ , e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali $s_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}$.

TEOREMA 1.5.2.

Sia $z_{n}=x_{n}+Iy_{n}$ una successione in $C$ , e $z=x+Iy$. Allora $[\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z\iff \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=xe\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=y$ in modo analogo, se $S=X+IY$ , la serie $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}=S\iff \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=Xe\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}=Y$

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se $\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|$ converge, allora converge anche $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$.

Serie di potenze

Definizione 1.5.4 Una serie di potenze e' una serie dipendente da un parametro $z$ , della forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

Se una serie di potenze $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ converge per $z=z_{1}\neq z_{0}$ , allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto $|z-z_{0}|<R_{1}=|z_{1}-z_{0}|$ . Definendo il raggio di convergenza $R$ come il $\sup |z-z_{0}|$ tra tutti gli $z$ per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio $R$ centrato in $z_{0}$ , ed in nessun punto all'esterno del cerchio. Se $R=\infty$ la serie converge su $C$ se e' zero converge soltanto in $z_{0}$.

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,$S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (|z-z_{0}|<R)$

TEOREMA 1.5.6.

Una serie di potenze con raggio di convergenza $R$ converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio $R'<R$ centrato in $z_{0}$ , ed e' uniformemente continua entro tale cerchio.

TEOREMA 1.5.7.

Sia $S(z)$ una serie di potenze definita come sopra, e $C$ un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia $g(z)$ una funzione continua sul percorso $C$. Allora

$\int _{C}g(z)S(z)dz=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{C}g(z)(z-z_{0})^{n}dz$

TEOREMA 1.5.8.

$S(z)$ e' analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e puo' essere derivata termine a termine, cioe' $S'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$ inoltre $a_{n}={\frac {S^{(n)}(z_{0})}{n!}}$

Teorema 1.5.9 (di Taylor)

Sia $f$ una funzione analitica in un cerchio aperto $|z-z_{0}|<R$ . Allora la serie di potenze definita come

$S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$

converge a $f(z)$ per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo e' unico, cioe' $S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ converge a $f(z)$ solo se i suoi coefficienti sono $a_{n}=f^{(n)}(z_{0})/n!$ .

Teorema 1.5.10 (di Laurent)

Sia $f$ una funzione analitica in una corona circolare $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$ , e sia $C$ un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui $f$ e' analitica . Allora, in ogni punto del dominio,

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$

e i coefficienti dello sviluppo valgono

$a_{n}={\frac {1}{2\pi I}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz\qquad b_{n}={\frac {1}{2\pi I}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}}dz$

Tale sviluppo e' unico.

Prodotto di serie

Date due serie $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ e' possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come $\sum _{n}c_{n}$ , con $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$ .

TEOREMA1.5.11

Se $f$ e $g$ sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi $|z-z_{f}|<R_{f}$ e $|z-z_{g}|<R_{g}$ rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.