Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

${\sqrt[{n}]{A(x)}}=B(x)\,$

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

$A(x)=B(x)^{n}\,$

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione $x=-x\,$, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo $x^{2}=x^{2}\,$, che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

${\sqrt {x+1}}=x-5\,$

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

$x+1=x^{2}-10x+25\,$

$x^{2}-11x+24=0\,$

$\Delta =11^{2}-24\cdot 4=25\,$

$x={\frac {11\pm 5}{2}}\,$

$x_{1}=8,x_{2}=3\,$

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:

$x=8\,$

${\sqrt {8+1}}=8-5\,$

$3=3\,$

$x=3\,$

${\sqrt {3+1}}=3-5\,$

$2=-2\,$

L'unica soluzione accettabile è quindi $x=8$