Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali: differenze tra le versioni
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:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math> |
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== Risoluzione == |
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Nel caso ''n'' sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice: |
Nel caso ''n'' sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice: |
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:<math>A(x) = B(x) ^ n \,</math> |
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ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente. |
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente. |
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La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui ''n'' è un numero pari. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione <math>x = -x \,</math>, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo <math>x^2 = x^2 \,</math>, che ha invece infinite soluzioni. |
La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui ''n'' è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione <math>x = -x \,</math>, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo <math>x^2 = x^2 \,</math>, che ha invece infinite soluzioni. |
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Consideriamo ad esempio questa equazione: |
Consideriamo ad esempio questa equazione: |
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:<math>x = \frac{11 \pm 5}{2} \,</math> |
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:<math>x_1 = 8 |
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Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione: |
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L'unica soluzione accettabile è quindi <math>x = 8</math> |
L'unica soluzione accettabile è quindi <math>x = 8</math> |
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=== Condizioni di concordanza === |
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Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso: |
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:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math> con n pari |
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dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi <math>A(x) \geq 0 \,</math>). Se il risultato di <math>\sqrt[n]{A(x)}</math> è un numero positivo o nulla, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche <math>B(x) \geq 0 \,</math>. |
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Tornando al nostro esempio |
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:<math>\sqrt{x + 1} = x - 5 \,</math> |
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Le condizioni da porre saranno le seguenti: |
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:<math>x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,</math> |
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:<math>x - 5 \geq 0 \rarr x \geq 5 \,</math> |
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Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà <math>geq 5 \,</math>. |
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Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati: |
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:<math>x_1 = 8; x_2 = 3 \,</math> |
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Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è <math>x = 8</math> in quanto 3 è minore di 5. |
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== Altri casi == |
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Il metodo delle condizioni è più veloce è più pulito, ma con gli strumenti a nostra disposizione non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere. |
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Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno: |
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:<math>\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6} = -1 \,</math> |
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In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè <math>\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6}</math>) non si può sapere se sia positiva o nulla. |
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Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme: |
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:<math>\sqrt{x+1} + 1 = \sqrt{x+6} \,</math> |
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Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici: |
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:<math>x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,</math> |
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:<math>x+6 \geq 0 \rarr x \geq -6 \,</math> |
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:quindi <math>x \geq -1</math> |
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Ora passiamo ai segni: sappiamo che <math>\sqrt{x + 6}</math> è sempre positivo o nullo così come lo è <math>\sqrt{x+1}</math> e a sua volta dunque <math>\sqrt{x+1} + 1</math> sarà positivo. |
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Eleviamo entrambi i membri al quadrato: |
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:<math> ( \sqrt{x+1} + 1 )^ 2 = \sqrt{x+6}^2 \,</math> |
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:<math> x+1 + 2\sqrt{x+1} + 1 = x+ 6 \,</math> |
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:<math> 2\sqrt{x+1} = x + 6 - x - 2 \,</math> |
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:<math> 2\sqrt{x+1} = 4\,</math> |
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:<math> \sqrt{x+1} = 2\,</math> |
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Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora <math>x \geq -1</math> e procediamo: |
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:<math> x+1 = 4\,</math> |
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:<math> x = 3\,</math> |
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che è la nostra soluzione. |
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Versione delle 00:02, 20 mag 2008
Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:
Risoluzione
Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.
La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione , la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo , che ha invece infinite soluzioni.
Consideriamo ad esempio questa equazione:
Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:
Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:
L'unica soluzione accettabile è quindi
Condizioni di concordanza
Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:
- con n pari
dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi ). Se il risultato di è un numero positivo o nulla, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche .
Tornando al nostro esempio
Le condizioni da porre saranno le seguenti:
Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà .
Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:
Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è in quanto 3 è minore di 5.
Altri casi
Il metodo delle condizioni è più veloce è più pulito, ma con gli strumenti a nostra disposizione non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.
Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:
In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè ) non si può sapere se sia positiva o nulla.
Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:
Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:
- quindi
Ora passiamo ai segni: sappiamo che è sempre positivo o nullo così come lo è e a sua volta dunque sarà positivo.
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora e procediamo:
che è la nostra soluzione.