Aritmetica modulare/La relazione di congruenza: differenze tra le versioni

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(Nuova pagina: Questo capitolo tratta le proprietà elementari delle congruenze: la definizione delle relazione di congruenza e del relativo insieme quoziente, più il suo rapporto con le operazioni....)
 
(→‎La divisione: frazioni)
:<math>ax=1+bn \mathrm{~~~ovvero~~~} ax-bn=1</math>
 
Attraverso l'algoritmo euclideo è possibile dimostrare che questa congruenza è risolubile se e solo se il massimo comun divisore tra ''a'' e ''n'' è 1 (cioè se ''a'' e ''n'' sono ''coprimi''). In tal caso, anche ''x'' sarà coprimo con ''n''. Quindi ''a'' e ''x'' sono uno l'inverso dell'altro. ''x'' viene spesso denotato con <math>a^{-1}</math>.
 
Se indichiamo con <math>\mathbb{Z}_n^*</math> l'insieme degli elementi che possiedono un inverso (ovvero degli elementi ''invertibili'') otteniamo che questi verificano senza sforzo gli assiomi di gruppo rispetto alla moltiplicazione: infatti essa è
In più la moltiplicazione è commutativa, e quindi l'insieme <math>\mathbb{Z}_n^*</math> è un gruppo abeliano.
 
0, ovviamente, non ha mai un inverso; se invece ''n'' è un numero primo, ogni elemento non nullo possiede un inverso, e quindi è invertibile. Di conseguenza, per ''n'' primo, l'insieme <math>\mathbb{Z}_n^*</math> coincide con <math>\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}</math> (cioè la divisione ha sempre senso, eccetto quella per 0). Poiché <math>\mathbb{Z}_n</math> era già un anello commutativo, in questo caso abbiamo una struttura molto più potente, e cioè quella di ''campo''. Non solo: è possibile dimostrare, con strumenti molto più sofisticati, che ogni campo con un numero finito di elementi è o un <math>\mathbb{Z}_n</math>, per ''n'' primo, o una sua estensione. Se invece ''n'' non è primo, in generale l'insieme degli invertibili sarà decisamente più piccolo di <math>\mathbb{Z}_n</math>.
 
La cardinalità dell'insieme <math>\mathbb{Z}_n^*</math> è generalmente denotata con <math>\phi(n)</math>: tale funzione è detta ''funzione phi'' o ''funzione di Eulero''.
 
La moltiplicazione tra ''a'' e <math>b^{-1}</math> può anche essere denotata come frazione, cioè
:<math>ab^{-1}=\frac{a}{b}</math>
Con questa notazione, possiamo dire che le frazioni "hanno senso" in aritmetica modulare, purché ''b'' sia coprimo con ''n''.
 
[[categoria:Aritmetica modulare]]
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