Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali: differenze tra le versioni

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Per '''equazioni irrazionali''' si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:
Per '''equazioni irrazionali''' si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:
:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math>
:<math>\sqrt[n]{A_{(x)}} = B_{(x)} \,</math>


== Risoluzione ==
== Risoluzione ==
Nel caso ''n'' sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:
Nel caso ''n'' sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:
:<math>A(x) = B(x) ^ n \,</math>
:<math>A_{(x)} = B_{(x)} ^ n \,</math>
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.


La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui ''n'' è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione <math>x = -x \,</math>, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo <math>x^2 = x^2 \,</math>, che ha invece infinite soluzioni.
La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui ''n'' è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione <math>x = -x \,</math>, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo <math>x^2 = x^2 \,</math>, che ha invece infinite soluzioni.


Consideriamo ad esempio questa equazione:
Consideriamo ad esempio questa equazione:
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=== Condizioni di concordanza ===
=== Condizioni di concordanza ===
Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:
Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:
:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math> con n pari
:<math>\sqrt[n]{A_{(x)}} = B_{(x)} \,</math> con n pari
dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi <math>A(x) \geq 0 \,</math>). Se il risultato di <math>\sqrt[n]{A(x)}</math> è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche <math>B(x) \geq 0 \,</math>.
dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi <math>A_{(x)} \geq 0 \,</math>). Se il risultato di <math>\sqrt[n]{A_{(x)}}</math> è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche <math>B_{(x)} \geq 0 \,</math>.


Tornando al nostro esempio
Tornando al nostro esempio
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[[Categoria:Matematica per le superiori|Equazioni irrazionali]]
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Versione delle 09:08, 9 set 2008

Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

Risoluzione

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione , la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo , che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:


L'unica soluzione accettabile è quindi

Condizioni di concordanza

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:

con n pari

dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi ). Se il risultato di è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche .

Tornando al nostro esempio

Le condizioni da porre saranno le seguenti:

Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: .

Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:

Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è in quanto 3 è minore di 5.

Altri casi

Il metodo delle condizioni è più veloce è più pulito, ma con gli strumenti a nostra disposizione non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.

Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:

In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè ) non si può sapere se sia positiva o nulla.

Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:

Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:

quindi

Ora passiamo ai segni: sappiamo che è sempre positivo o nullo così come lo è e a sua volta dunque sarà positivo.

Eleviamo entrambi i membri al quadrato:

Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora e procediamo:

che è la nostra soluzione.

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