Matematica per le superiori/L'ellisse: differenze tra le versioni
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<math>x^2(a^2-c^2) +a^2y^2 = a^4 -a^2c^2</math><br> |
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<math>x^2(a^2-c^2) +a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)</math><br> |
<math>x^2(a^2-c^2) +a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)</math><br> |
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Ponendo: |
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<math>b^2 = a^2-c^2</math><br> |
<math>b^2 = a^2-c^2</math><br> |
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<math>x^2b^2 +a^2y^2 = a^2b^2</math><br> |
<math>x^2b^2 +a^2y^2 = a^2b^2</math><br> |
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<math>\frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}</math><br> |
<math>\frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}</math><br> |
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<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math><br> |
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<math>\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a</math><br> |
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È quindi possibile operare una ''traslazione'' per spostare il centro dall'origine:<br> |
È quindi possibile operare una ''traslazione'' per spostare il centro dall'origine:<br> |
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Versione delle 11:06, 27 ott 2008
L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione generica
L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico:
Ponendo:
È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:
- Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
- c può essere ricavato dall'equazione (il quadrato del maggiore tra a e b meno il quadrato del minore tra e b uguale a c al quadrato).
- Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata. La sua formula è:
Completamento del quadrato
A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente:
Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti:
Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.