Analisi matematica/Esempi di integrali non immediati

Esempi di calcolo di integrali non immediati

esercizio 1°

$\ \int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx$

Si ha: $\ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,

${\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}={\frac {c_{1}}{x-2}}+{\frac {c_{2}}{x-3}}$ ,

$\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3c_{1}-2c_{2}$ ,

da cui:

$\left\{{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}}\right.$

Risolvendo il sistema si ha:$\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$

Quindi:

$\int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx=\ \int _{}{\frac {-3}{x-2}}dx+\ \int _{}{\frac {4}{x-3}}dx=log{\frac {(x-3)^{4}}{(x-2)^{3}}}$

esercizio 2°

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:

${\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}={\frac {c_{1}}{x-1}}+{\frac {c_{2}x+c_{2}}{x^{2}+1}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {x+1}{x^{2}+1}}$

Quindi:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx=x+{\frac {3}{2}}log(x-1)-{\frac {1}{4}}log(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)=$

$=x+log{\sqrt {\frac {(x-1)^{3}}{{\sqrt {(}}x^{2}+1)}}}-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)$

esercizio 3°

$\int {}{}{x^{3}-x^{2}+1 \over (1+x^{2})^{3}}dx$

Applicando la formula notevole $\int {}{}{A(x) \over (ax^{2}+b)^{n}}dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i}x^{i-1} \over (ax^{2}+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}I_{0}(x)$

Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:

$\ c_{1}={1 \over 4}\quad c_{2}={-1 \over 2}\quad c_{3}={3 \over 4}\quad c_{4}={-1 \over 4}\quad c_{5}=0\quad c_{6}={1 \over 4}$

esercizio 4°

$\int {}{}{x-1 \over {\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{3}]{x}}}dx$

ponendo $:\qquad x=t^{6}\qquad dx=6t^{6}dt\qquad si\ ha$

$\int {}{}{x-1 \over {\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{3}]{x}}}dx=6\int {}{}{(t^{6}-1)t^{3} \over t+1}dt=6\int {}{}(t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}+t-1)t^{3}dt$

$=6\int {}{}(t^{8}-t^{7}+t^{6}-t^{5}+t^{4}-t^{3})dt={2 \over 3}t^{9}-{3 \over 4}t^{8}+{6 \over 7}t^{7}-t^{6}+{6 \over 5}t^{5}-{3 \over 2}t^{4}=$

$={2 \over 3}x^{3 \over 2}-{3 \over 4}x^{4 \over 3}+{6 \over 7}x^{7 \over 6}-x+{6 \over 5}x^{5 \over 6}-{3 \over 2}x^{2 \over 3}.$

esercizio 5°

$\int _{}{}{a \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}dx$

Si può eseguire con la posizione:${\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}=t-2x$ in virtù della quale si riduce razionale in t; ma più rapidamente si risolve con la formula .....sugli integrali non immediatidi funzioni irrazionali:

$\int _{}{}{x \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}dx=c_{1}{\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}+c_{2}\int {}{}{dx \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}.$

Derivando i due membri si ha:

${x \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}={c_{1}(4x+{1 \over 2}) \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}+{c_{2} \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}},$

da cui risulta$:\qquad c_{1}={1 \over 4},\qquad c_{2}=-{1 \over 8}.$

esercizio 6°

$\int _{}{}{x^{2}-3x+1 \over {\sqrt[{3}]{3x+2}}}dx$

Applicando la formula notevole $\ D)\ 1$ sugli integrali di funzioni irrazionali si ha :

esercizio 7°

$\int {}{}{\sqrt[{2}]{x}}{\sqrt[{2}]{{\sqrt[{6}]{x}}+1}}\ dx$

essendo $\ m={1 \over 2}\quad n={1 \over 6,}$ si ha: $\ {m+1 \over n}=({1 \over 2}+1)\ :{1 \over 6}=9\ ,$

e perciò ponendo : ${\sqrt[{6}]{x}}+1=t$ da cui : $\ x=(t-1)^{6}\ ,\quad dx=6(t-1)^{5}dt\ ,$ l'integrale diventa :

$\int {\sqrt[{2}]{x}}{\sqrt[{2}]{{\sqrt[{6}]{x}}+1}}\ dx=6\int {(t-1)^{8}}{\sqrt[{2}]{t}}\ dt\ ,$ che è di facile esecuzione.

esercizio 8°

$\int {}{}\sin ^{3}{x}dx$

$\int \sin ^{3}xdx=-\int \sin ^{2}x\ d\cos x=-\int (1-\cos ^{2}x)d\cos x=-(\cos x-{\cos ^{3}x \over 3})\ .$

esercizio 9°

$\int \cos ^{3}x\ dx=\int (1-\sin ^{2}x)\ d\sin x=\sin x-{\sin ^{3}x \over 3}\ .$