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[[Categoria:Analisi complessa|Numeri complessi]] |
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== Altre risorse == |
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== '''Collegamenti esterni''' == |
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*[http://www.sandroronca.it/matematica/complessi/complex0.html Numeri complessi]. Lezione interattiva |
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*[http://www.sandroronca.it/matematica/complessi/complex0.html Numeri complessi]. Lezione interattiva |
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Definizione 1.1.1
Definiamo l'insieme dei numeri complessi
come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali
con somma e prodotto definiti come
È facile convincersi che con queste definizioni
ha le proprieta' algebriche di un campo
(vedi sezione 2.3).
Inoltre, assimilando i numeri della forma
ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso
si puo' scrivere come
dove 1= (0,1).
L'analogia tra ed
(e' immediato vedere che i due insiemi sono in
corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare
il campo complesso come l'insieme dei punti
di un piano cartesiano.
Definiamo poi, dato un numero
- definiamo il coniugato
- la parte reale
- la parte immaginaria
- il modulo
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano
cartesiano, si puo' ora passare ad una
rappresentazione in coordinate polari.
Si puo' quindi scrivere
come
- evidentemente per z = 0 la forma polare e' mal definita.
e' il modulo di e
l' argomento
, che e' definito a meno di multipli interi di
.
Il valore principale dell'argomento e' il valore scelto in
,
.
Definendo poi tramite la formula di Eulero
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
.
TEOREMA 1.1.2. Le quantita' sopra definite godono
di una serie di proprieta' algebriche:
siano
, con
e
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
- (5)
- (6)
Inoltre si nota che
soddisfa le definizioni di una distanza
, e di conseguenza si puo' considerare
uno spazio metrico.
Collegamenti esterni