Matematica per le superiori/Equazioni: differenze tra le versioni

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== Principi di equivalenza delle equazioni ==
== Principi di equivalenza delle equazioni ==
Per risolvere le equazioni esistono due principi di equivalenza:
Per risolvere le equazioni esistono due principi di equivalenza, chiamati rispettivamente primo e secondo principio di equvalenze delle equazioni.
il primo principio di equivalenza delle equazioni
e il secondo principio di equivalenza delle equazioni

'''Primo principio di equivalenza:'''
Data un'equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.


===Primo principio di equivalenza:===
{{definizione|Data un'equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione algebrica si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.}}
<math>x+2=3</math> è equivalente a <math>x+2-2=3-2</math>, quindi <math>x=1</math>
<math>x+2=3</math> è equivalente a <math>x+2-2=3-2</math>, quindi <math>x=1</math>

Come conseguenze del primo principio di equivalenza ci sono la regola del trasporto e la regola si cancellazione.
Come conseguenze del primo principio di equivalenza ci sono la regola del trasporto e la regola si cancellazione.
;Regola del trasporto:
:Data un'equazione, trasportando un termine da un membro all'altro e cambiandolo di segno si ottiene un'equazione equivalente.
:<math>ax+b=0</math> è equivalente a <math>ax=-b</math>
;Regola di cancellazione:
:Data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.
:<math>x+2=2</math>, se trasportiamo '2' nel secondo membro, otteniamo <math>x=0</math>


===Secondo principio di equivalenza===
'''Regola del trasporto:'''
Data un'equazione, trasportando un termine da un membro all'altro e cambiandolo di segno si ottiene un'equazione equivalente.
{{definizione|Data un'equazione, moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.}}

<math>ax+b=0</math> è equivalente a <math>ax=-b</math>

'''Regola di cancellazione:'''
Data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.

<math>x+2=2</math>, se trasportiamo '2' nel secondo membro, otteniamo <math>x=0</math>



'''Secondo principio di equivalenza:'''
Data un'equazione, moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.'''

<math>3x=6</math>, se dividiamo entrami i membri per '3' otteniamo come soluzione <math>x=2</math>
<math>3x=6</math>, se dividiamo entrami i membri per '3' otteniamo come soluzione <math>x=2</math>

Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.
Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.
;Regola del cambiamento di segno:

'''Regola del cambiamento di segno:''' data un'equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un'equazione equivalente.
:Data un'equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un'equazione equivalente.
:<math>-x=-2</math>, moltiplicando entrambi i membri per '-1', si ottiene <math>x=2</math>, equivalente all'equazione data.

<math>-x=-2</math>, moltiplicando entrambi i membri per '-1', si ottiene <math>x=2</math>, equivalente all'equazione data.


== Equazioni di primo grado numeriche intere ==
== Equazioni di primo grado numeriche intere ==
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[[Categoria:Matematica per le superiori|Equazioni]]
[[Categoria:Matematica per le superiori|Equazioni]]

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Versione delle 18:08, 16 gen 2009

Si dice equazione l'uguaglianza tra due espressioni che contengono almeno un'incognita.

Le soluzioni di un'equazione sono quei valori che sostituiti delle incognite rendono vera l'uguaglianza.

Un'equazione che non ha soluzioni si dice impossibile.

Se qualunque valore è una soluzione l'equazione si dice indeterminata.

Se ha un limitato insieme di soluzioni si dice determinata.

Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti.

Principi di equivalenza delle equazioni

Per risolvere le equazioni esistono due principi di equivalenza, chiamati rispettivamente primo e secondo principio di equvalenze delle equazioni.

Primo principio di equivalenza:

Definizione

Data un'equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione algebrica si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.

è equivalente a , quindi Come conseguenze del primo principio di equivalenza ci sono la regola del trasporto e la regola si cancellazione.

Regola del trasporto
Data un'equazione, trasportando un termine da un membro all'altro e cambiandolo di segno si ottiene un'equazione equivalente.
è equivalente a
Regola di cancellazione
Data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.
, se trasportiamo '2' nel secondo membro, otteniamo

Secondo principio di equivalenza

Definizione

Data un'equazione, moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.

, se dividiamo entrami i membri per '3' otteniamo come soluzione Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.

Regola del cambiamento di segno
Data un'equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un'equazione equivalente.
, moltiplicando entrambi i membri per '-1', si ottiene , equivalente all'equazione data.

Equazioni di primo grado numeriche intere

Equazioni di primo grado numeriche fratte

Le equazioni di primo grado numeriche fratte hanno l'incognita al denominatore e si risolvono in cinque semplici passi.

I passi sono rispettivamente:

  1. Scomporre i denominatori in fattori irriducibili;
  2. Trovare il denominatore comune (m.c.m);
  3. Determinare la condizione di esistenza (C.E).(Questo è da tenere sempre presente: poiché l'incognita compare a denominatore è necessario precisare l'insieme delle possibili soluzioni dell'equazione escludendo i valori dell'incognita che annullano i denominatori. In tali condizioni non vi sono poi problemi nell'applicazione dei principi di equivalenza);
  4. Eliminare i denominatori e risolvere l'equazione intera;
  5. Confrontare il risultato ottenuto con le condizioni di esistenza (C.E).

Facciamo un esempio

Equazioni di primo grado letterali intere