Analisi complessa/Numeri complessi

Definizione 1.1.1. Definiamo l'insieme dei numeri complessi $\mathbb {C}$ come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ con somma e prodotto definiti come

$(X_{1},Y_{1})+(X_{2},Y_{2})=(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})$

$(X_{1},Y_{1})(X_{2},Y_{2})=(X_{1}X_{2}-Y_{1}Y_{2},X_{2}Y_{1}+X_{1}Y_{2})$

È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta' algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma $(X,0)$ ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si puo' scrivere come

$(X,Y)=(X,0)+(0,1)(Y,0)=X+IY$

dove 1= (0,1).

L'analogia tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$ (e' immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero $z\in \mathbb {C} =x+Iy=(x,y)$

definiamo il coniugato

${\bar {z}}=x-Iy$

la parte reale

$Re\,z=x=(z+{\bar {z}})/2$

la parte immaginaria

$Im\,z=y=(z-{\bar {z}})/2$

il modulo

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si puo' ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si puo' quindi scrivere $z\in \mathbb {C}$ come $z=\rho (\cos \theta +I\sin \theta )$

evidentemente per z = 0 la forma polare e' mal definita.

$\rho$ e' il modulo di $z$ e $\theta$ l' argomento $\theta =\arg z$ , che e' definito a meno di multipli interi di $2\pi$ . Il valore principale dell'argomento e' il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$, $\arg z$. Definendo poi tramite la formula di Eulero $e^{I\theta }=\cos \theta +I\sin \theta$ (relazione che sara' giustificata in seguito) avremo $z=\rho e^{I\theta }$ .

TEOREMA 1.1.2.

Le quantita' sopra definite godono di una serie di proprieta' algebriche: siano $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ , con $z_{1}=x_{1}+Iy_{1}=\rho _{1}e^{I\theta _{1}}$ e $z_{2}=x_{2}+Iy_{2}=\rho _{2}e^{I\theta _{1}}$

$\rho _{1}=|z_{1}|$

$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$

$z_{1}z_{2}=\rho _{1}\rho _{2}e^{I(\theta _{1}+\theta _{2})}$

$z_{1}/z_{2}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}e^{I(\theta _{1}-\theta _{2})}$

$z_{1}^{n}=\rho _{1}^{n}e^{In\theta _{1}}\qquad n\in \mathbb {Z}$

${\sqrt[{n}]{z_{1}}}={\sqrt[{n}]{\rho _{1}}}e^{I({\frac {\theta _{1}}{n}}+{\frac {k2\pi }{n}})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$

Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare $\mathbb {C}$ uno spazio metrico.