È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
Definiamo l'insieme dei numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali con somma e prodotto definiti come
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
dove I: = (0,1).
L'analogia tra ed (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero
definiamo:
il coniugato
la parte reale
la parte immaginaria
il modulo
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
Si può quindi scrivere come
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. è il modulo di e l' argomento, che è definito a meno di multipli interi di .
Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in , .
Definendo poi tramite la formula di Eulero
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
TEOREMA 1.1.2.
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano , con e
Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
uno spazio metrico.