Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni

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Analisi complessa

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Definizione 1.1.1.

Definiamo l'insieme dei numeri complessi

\mathbb {C}

come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali

(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}

con somma e prodotto definiti come

(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,

(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})\,

È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come

(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,

dove i: = (0,1).

L'analogia tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$ (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero

z\in \mathbb {C} =x+iy=(x,y)

definiamo:

il coniugato

{\bar {z}}=x-iy

la parte reale

Re\,z=x=(z+{\bar {z}})/2

la parte immaginaria

Im\,z=y=(z-{\bar {z}})/2

il modulo

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere $z\in \mathbb {C}$ come

z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )\,

Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. $\rho$ è il modulo di $z$ e $\theta$ l' argomento $\theta =\arg z$ , che è definito a meno di multipli interi di $2\pi$ . Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$ , $\arg z$ .

Definendo poi tramite la formula di Eulero

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!

(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo

z=\rho e^{i\theta }\!

Proprietà

Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ , con $z_{1}=x_{1}+iy_{1}=\rho _{1}e^{i\theta _{1}}$ e $z_{2}=x_{2}+iy_{2}=\rho _{2}e^{i\theta _{1}}$

$\rho _{1}=|z_{1}|\,$
$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$
$z_{1}z_{2}=\rho _{1}\rho _{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$
$z_{1}/z_{2}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$
$z_{1}^{n}=\rho _{1}^{n}e^{in\theta _{1}}\qquad n\in \mathbb {Z}$
${\sqrt[{n}]{z_{1}}}={\sqrt[{n}]{\rho _{1}}}e^{i({\frac {\theta _{1}}{n}}+{\frac {k2\pi }{n}})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$

Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare $\mathbb {C}$ uno spazio metrico.

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 ::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math>
-È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
+È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(x,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
-:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+Iy\,</math>
+:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,</math>
-dove I: = (0,1).
+dove i: = (0,1).
 L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
-:<math>z \in \mathbb{C}=x+Iy=(x,y)</math>
+:<math>z \in \mathbb{C}=x+iy=(x,y)</math>
 definiamo:
 *il '''coniugato'''
-::<math>\bar{z}=x-I y</math></center>
+::<math>\bar{z}=x-iy</math></center>
 *la '''parte reale'''
 ::<math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
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 Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
 Si può quindi scrivere <math>z \in \mathbb{C}</math> come
-:<math>z =\rho(\cos\theta+I\sin\theta) \,</math>
+:<math>z =\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \,</math>
 Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' '''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>.
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 Definendo poi tramite la formula di Eulero
-:<math>e^ {I \theta }= \cos \theta + I \sin \theta\!</math>
+:<math>e^ {i \theta }= \cos \theta + i \sin \theta\!</math>
 (relazione che sara'  giustificata in seguito) avremo
-:<math>z =\rho e^{I\theta}\!</math>
+:<math>z =\rho e^{i\theta}\!</math>
 ==Proprietà==
 ;Teorema 1.1.2
-Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
+Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+iy_1=\rho_1 e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+iy_2=\rho_2 e^{i\theta_1}</math>
 #<math>\rho_1=|z_1| \,</math>
 #<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
-#<math>z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{I(\theta_1+\theta_2)}</math>
+#<math>z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math>
-#<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{I(\theta_1-\theta_2)}</math>
+#<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math>
-#<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{I n\theta_1} \qquad n \in \Z</math>
+#<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{i n\theta_1} \qquad n \in \Z</math>
-#<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{I(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
+#<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{i(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
 Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare