Analisi complessa/Serie di potenze: differenze tra le versioni
cambio avanzamento a 75% |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 5: | Riga 5: | ||
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in <math>C</math> e le successioni in <math>R</math>. |
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in <math>C</math> e le successioni in <math>R</math>. |
||
=== |
===Successione e Serie=== |
||
Una successione in <math>C</math> è una funzione <math>\mathbb{N}\rightarrow C</math>, che indichiamo come un insieme di valori con indice, <math>z_{n}</math>. |
Una successione in <math>\C</math> è una funzione <math>\mathbb{N}\rightarrow \C</math>, che indichiamo come un insieme di valori con indice, <math>z_{n}</math>. |
||
Diciamo che una successione converge a <math>z</math> , o che <math>\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z</math> se |
*Diciamo che una successione converge a <math>z</math> , o che <math>\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z</math> se |
||
:<math>\forall\ |
:<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N:n>N \Rightarrow |z_{n}-z|<\varepsilon</math> |
||
Una ''serie'' è una somma infinita |
*Una ''serie'' è una somma infinita |
||
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math> |
::<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math> |
||
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali |
:e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali |
||
:<math>s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}</math> |
::<math>s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in\N</math> |
||
=== |
===Teorema 1.5.2.=== |
||
Sia <math>z_{n}=x_{n}+ |
Sia <math>z_{n}=x_{n}+i y_{n}</math> una successione in <math>\C</math>, e <math>z =x+i y</math> allora |
||
⚫ | |||
Allora |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
===Teorema sulla convergenza assoluta=== |
|||
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se |
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se |
||
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|</math> |
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|</math> |
||
converge, allora converge anche |
converge, allora converge anche |
||
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>. |
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>. |
||
==Serie di potenze== |
==Serie di potenze== |
||
===Definizione 1.5.4=== |
===Definizione 1.5.4=== |
||
Riga 33: | Riga 33: | ||
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
||
===Teorema=== |
|||
Se una serie di potenze |
Se una serie di potenze |
||
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
||
converge per |
converge per <math>z =z_1 \neq z_0</math> |
||
:<math>z =z_1 \neq z_0</math> |
|||
allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto |
allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto |
||
:<math>|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|</math> |
:<math>|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|\!</math> |
||
Definendo il ''raggio di convergenza'' <math>R</math> come il |
Definendo il ''raggio di convergenza'' <math>R</math> come il |
||
:<math>\sup|z-z_0|</math> |
:<math>\sup|z-z_0|</math> |
||
Riga 49: | Riga 48: | ||
:<math> S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R) </math> |
:<math> S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R) </math> |
||
=== |
===Teorema 1.5.6.=== |
||
Una serie di potenze con raggio di convergenza <math>R</math> converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio <math>R'<R</math> centrato in <math>z_0</math> , ed è uniformemente continua entro tale cerchio. |
Una serie di potenze con raggio di convergenza <math>R</math> converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio <math>R'<R</math> centrato in <math>z_0</math> , ed è uniformemente continua entro tale cerchio. |
||
=== |
===Teorema 1.5.7.=== |
||
Sia <math>S(z)</math> una serie di potenze definita come sopra, e <math>C</math> un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia <math>g(z)</math> una funzione continua sul percorso <math>C</math>. Allora |
Sia <math>S(z)</math> una serie di potenze definita come sopra, e <math>C</math> un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia <math>g(z)</math> una funzione continua sul percorso <math>C</math>. Allora |
||
:<math>\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz</math> |
:<math>\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz</math> |
||
=== |
===Teorema 1.5.8.=== |
||
<math>S(z)</math> è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè |
<math>S(z)</math> è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè |
||
:<math>S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}</math> |
:<math>S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}</math> |
||
Riga 62: | Riga 61: | ||
:<math>a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}</math> |
:<math>a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}</math> |
||
==Teorema 1.5.9 (di Taylor)== |
|||
Sia <math>f</math> una funzione analitica in un cerchio aperto <math>|z-z_0|<R</math>. Allora la serie di potenze definita come |
Sia <math>f</math> una funzione analitica in un cerchio aperto <math>|z-z_0|<R</math>. Allora la serie di potenze definita come |
||
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}</math> |
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}</math> |
||
Riga 70: | Riga 69: | ||
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math> |
||
converge a <math>f(z)</math> solo se i suoi coefficienti sono |
converge a <math>f(z)</math> solo se i suoi coefficienti sono |
||
:<math>a_{n}=f^{(n)}(z_0) |
:<math>a_{n}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \!</math> |
||
==Teorema 1.5.10 (di Laurent)== |
|||
Sia <math>f</math> una funzione analitica in una corona circolare |
Sia <math>f</math> una funzione analitica in una corona circolare |
||
:<math>R_1<|z-z_0|<R_2</math> |
:<math>R_1<|z-z_0|<R_2</math> |
||
Riga 84: | Riga 83: | ||
Tale sviluppo è unico. |
Tale sviluppo è unico. |
||
==Prodotto di serie== |
|||
;Definizione |
|||
Date due serie <math>\sum a_{n}</math> e <math>\sum b_{n}</math> è possibile definire il '''prodotto di Cauchy''' delle due serie come |
:Date due serie <math>\sum a_{n}</math> e <math>\sum b_{n}</math> è possibile definire il '''prodotto di Cauchy''' delle due serie come |
||
:<math> \sum_{n} c_{n} \,</math> |
:<math> \sum_{n} c_{n} \,</math> |
||
con <math>c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}</math>. |
con <math>c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}</math>. |
||
=== |
===Teorema 1.5.11=== |
||
Se <math>f</math> e <math>g</math> sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno |
Se <math>f</math> e <math>g</math> sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno |
||
di due cerchi |
di due cerchi |
||
:<math>|z-z_f|<R_f</math> |
:<math>|z-z_f|<R_f\!</math> |
||
e |
e |
||
:<math>|z-z_g|<R_g</math> |
:<math>|z-z_g|<R_g\!</math> |
||
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge |
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge |
||
al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi |
al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi |
Versione delle 19:56, 15 feb 2009
Successioni nel campo complesso
Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di .
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in e le successioni in .
Successione e Serie
Una successione in è una funzione , che indichiamo come un insieme di valori con indice, .
- Diciamo che una successione converge a , o che se
- Una serie è una somma infinita
- e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
Teorema 1.5.2.
Sia una successione in , e allora
- e
In modo analogo, se , la serie
- e
Teorema sulla convergenza assoluta
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se
converge, allora converge anche
- .
Serie di potenze
Definizione 1.5.4
Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro , della forma
Teorema
Se una serie di potenze
converge per allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto
Definendo il raggio di convergenza come il
tra tutti gli per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio centrato in , ed in nessun punto all'esterno del cerchio.
Se la serie converge su , se è zero converge soltanto in .
Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,
Teorema 1.5.6.
Una serie di potenze con raggio di convergenza converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio centrato in , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
Teorema 1.5.7.
Sia una serie di potenze definita come sopra, e un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia una funzione continua sul percorso . Allora
Teorema 1.5.8.
è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè
Inoltre
Teorema 1.5.9 (di Taylor)
Sia una funzione analitica in un cerchio aperto . Allora la serie di potenze definita come
converge a per ogni punto interno al cerchio.
Tale sviluppo è unico, cioè
converge a solo se i suoi coefficienti sono
Teorema 1.5.10 (di Laurent)
Sia una funzione analitica in una corona circolare
e sia un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui è analitica.
Allora, in ogni punto del dominio,
e i coefficienti dello sviluppo valgono
Tale sviluppo è unico.
Prodotto di serie
- Definizione
- Date due serie e è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
con .
Teorema 1.5.11
Se e sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi
e
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.