Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
{{Analisi complessa}}
==Integrale secondo Riemann==

:Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale
Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>
di Riemann, oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
<math>R^{1}</math>
.
.


'''Definzione 4.1.1.'''Sia dato un intervallo
;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math>
<math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in R</math>.
un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che
Si definisce ''partizione'' di <math>[a,b]</math>
un insieme <math>P</math> finito di punti tali che


<center> <math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b
::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math>
</math></center>


Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>.
Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>.
Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su
<math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di
<math>[a,b]</math> poniamo


Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo
<center>
<math>
M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad
</math>
<math>
U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i
</math><math>
\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)
</math>
</center>


dove <math>\inf</math> e <math>\sup</math>
sono calcolati al variare di tutte le partizioni di
<math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente
''integrale di Riemann superiore'' e ''inferiore''.


*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math>
Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice
'''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math>
su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali,


*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math>
<center>
*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math>
<math>
\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx
</math>
</center>
</center>


dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''.
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono

<math>m,M \in R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math>
Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice '''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e' detto che abbiano lo stesso valore.
), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math> su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali,
::<math>\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx</math>


'''Osserviamo''' che, dato che ogni funzione limitata esistono <math>m,M \in \R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math>
<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> se e solo se per ogni
per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
<math>\epsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math>
==Teorema==
tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\epsilon </math>
<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> se e solo se per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math>
tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon </math>


Se tale condizione e' verificata per la partizione
Se tale condizione e' verificata per la partizione
<math>P={ x_0,x_1,\ldots,x_n} </math> e <math>t_i \in [x_i-1,x_i]</math> allora
<math>P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} </math> e <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> allora


::<math>\left|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx\right|<\varepsilon.</math>
<math>
|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx|<\epsilon.]
</math>


[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]]
[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]]
{{Avanzamento|75%|21 febbraio 2009}}

Versione delle 19:54, 21 feb 2009

Indice del libro

Integrale secondo Riemann

Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di .

Definzione 4.1.1.
Sia dato un intervallo , con. Si definisce partizione di

un insieme finito di punti,, tali che

Scriveremo inoltre .

Se ora e' una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo


dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile ( ), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Teorema

se e solo se per ogni esiste una partizione tale che

Se tale condizione e' verificata per la partizione e allora