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{{Analisi complessa}} |
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{{Analisi complessa}} |
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==Integrale secondo Riemann== |
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:Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale
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Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema. |
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Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math> |
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di Riemann, oltre a qualche teorema. |
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Ci limiteremo ad integrali su intervalli di |
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<math>R^{1}</math> |
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. |
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'''Definzione 4.1.1.'''Sia dato un intervallo
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;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math> |
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<math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in R</math>. |
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un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che |
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Si definisce ''partizione'' di <math>[a,b]</math> |
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un insieme <math>P</math> finito di punti tali che |
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<center> <math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b
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::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math> |
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</math></center> |
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Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>. |
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Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>. |
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Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su |
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<math>[a,b]</math> , e <math> P</math> una partizione di |
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<math>[a,b]</math> poniamo |
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Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo |
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<center> |
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<math> |
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M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad |
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</math> |
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U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i |
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</math><math> |
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\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f) |
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dove <math>\inf</math> e <math>\sup</math> |
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sono calcolati al variare di tutte le partizioni di |
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<math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente |
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''integrale di Riemann superiore'' e ''inferiore''. |
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*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad </math> |
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Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice |
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'''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> |
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), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math> |
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su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali, |
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*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math> |
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*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f) \qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f) </math> |
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\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx |
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dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''. |
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Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono |
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<math>m,M \in R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math> |
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Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice '''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> |
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per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e' detto che abbiano lo stesso valore. |
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), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math> su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali, |
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::<math>\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx </math> |
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'''Osserviamo ''' che, dato che ogni funzione limitata esistono <math>m,M \in \R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math> |
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<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> se e solo se per ogni |
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per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore. |
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<math>\epsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math> |
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==Teorema== |
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tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\ epsilon </math> |
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<math> f \in \mathcal{R}([a,b] )</math> se e solo se per ogni <math> \varepsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math> |
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tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\ varepsilon </math> |
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Se tale condizione e' verificata per la partizione |
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Se tale condizione e' verificata per la partizione |
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<math>P={ x_0,x_1,\ldots,x_n} </math> e <math>t_i \in [x_i-1,x_i]</math> allora |
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<math>P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} </math> e <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> allora |
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::<math>\left|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx \right|<\ varepsilon. </math> |
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<math> |
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|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx|<\ epsilon. ] |
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[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]] |
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[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]] |
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{{Avanzamento|75%|21 febbraio 2009}} |
Integrale secondo Riemann
Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
.
- Definzione 4.1.1.
- Sia dato un intervallo , con. Si definisce partizione di
un insieme finito di punti,, tali che
Scriveremo inoltre .
Se ora e' una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo
dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile (
), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che
per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
Teorema
se e solo se per ogni esiste una partizione
tale che
Se tale condizione e' verificata per la partizione
e allora