Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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;Definizione 1.1.1. |
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:Definiamo l'insieme dei numeri complessi <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come |
:Definiamo l'insieme dei '''numeri complessi''' <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come |
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::<math>(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \,</math> |
::<math>(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \,</math> |
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::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math> |
::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math> |
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È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(x,0)</math> ai numeri reali, |
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(x,0)</math> ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come |
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:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,</math> |
:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,</math> |
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dove i |
dove ''i'' = (0,1). |
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L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero |
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero |
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:<math>z =\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \,</math> |
:<math>z =\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \,</math> |
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Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' |
Evidentemente per ''z'' = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l''''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>. |
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Il '''valore principale dell'argomento''' è il valore scelto in <math>(-\pi,\pi)</math>, <math>\arg z</math>. |
Il '''valore principale dell'argomento''' è il valore scelto in <math>(-\pi,\pi)</math>, <math>\arg z</math>. |
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Definendo poi tramite la formula di Eulero |
Definendo poi tramite la formula di Eulero |
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:<math>e^ {i \theta }= \cos \theta + i \sin \theta\!</math> |
:<math>e^ {i \theta }= \cos \theta + i \sin \theta\!</math> |
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(relazione che |
(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo |
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:<math>z =\rho e^{i\theta}\!</math> |
:<math>z =\rho e^{i\theta}\!</math> |
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==Proprietà== |
==Proprietà== |
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;Teorema 1.1.2 |
;Teorema 1.1.2 |
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Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+iy_1=\rho_1 e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+iy_2=\rho_2 e^{i\theta_1}</math> |
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+iy_1=\rho_1 e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+iy_2=\rho_2 e^{i\theta_1}</math>. Avremo: |
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#<math>\rho_1=|z_1| \,</math> |
#<math>\rho_1=|z_1| \,</math> |
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#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math> |
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math> |
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[[Categoria:Analisi complessa|Numeri complessi]] |
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{{Avanzamento|100%|23 febbraio 2009}} |
Versione delle 23:12, 23 feb 2009
- Definizione 1.1.1.
- Definiamo l'insieme dei numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali con somma e prodotto definiti come
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
dove i = (0,1).
L'analogia tra ed (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
definiamo:
- il coniugato
- la parte reale
- la parte immaginaria
- il modulo
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere come
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. è il modulo di e l'argomento , che è definito a meno di multipli interi di . Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in , .
Definendo poi tramite la formula di Eulero
(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo
Proprietà
- Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano , con e . Avremo:
Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare uno spazio metrico.