Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni
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==Integrale secondo Riemann== |
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Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math> |
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un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che |
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::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math> |
::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math> |
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Se ora <math>f</math> è una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo |
Se ora <math>f</math> è una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo |
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*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math> |
*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math> |
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*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math> |
*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math> |
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*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math> |
*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math> |
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dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''. |
dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''. |
Versione delle 18:54, 1 mar 2009
Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di .
- Definzione 4.1.1.
- Sia dato un intervallo , con. Si definisce partizione di un insieme finito di punti,, tali che
- Scriveremo inoltre .
Se ora è una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo
dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile ( ), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
Teorema
se e solo se per ogni esiste una partizione tale che
Se tale condizione è verificata per la partizione e allora