Fisica classica/Potenziale elettrico

Argomento precedente: La legge di Gauss

Potenziale elettrico

Due diversi percorsi che connettono due punti dello spazio

Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi, è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:

$\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\$

non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è centrale. Quindi con analogia con l'energia potenziale, possiamo definire differenza di potenziale elettrico ( d.d.p) $V_{b}-V_{a}\$ presente tra i punti a e b:

$V_{b}-V_{a}=-\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\$

Carica puntiforme

Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico ${\vec {E}}\$ generato da una carica puntiforme $Q\$ posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}\$

Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente:

$V_{b}-V_{a}=-\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-\int _{a}^{b}|{\vec {E}}|\cdot |d{\vec {l}}|\cos \theta \$

dove $\theta \$ è l'angolo compreso tra i vettori ${\vec {E}}\$ e $d{\vec {l}}\$. Il prodotto $dl\cos \theta \$, rappresenta la proiezione lungo $r\$ di $dl\$, quindi $dl\cos \theta =dr\$:

$V_{b}-V_{a}=-\int _{a}^{b}|E|dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}Q\int _{r_{b}}^{r_{a}}{\frac {1}{r^{2}}}dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}Q\left[{\frac {1}{r_{b}}}-{\frac {1}{r_{a}}}\right]\$

Quindi:

$V_{b}=V_{a}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}Q\left[{\frac {1}{r_{b}}}-{\frac {1}{r_{a}}}\right]\$

Se $r_{a}=\infty \$ e poniamo che $V(r_{a})=0\$:

$V_{b}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{r_{b}}}\$

Quindi assunto che all'infinito il potenziale sia nullo (una scelta arbitraria) e cambiando il nome di $r_{b}\$ in $r\$:

$V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{r}}\$

Varie cariche puntiformi

Se la distribuzione delle cariche è limitata nello spazio è sempre possibile assumere che il potenziale all'infinito sia nullo. Immaginando di avere $n\$ cariche $Q_{i}\$ disposte ciascuna nella posizione di raggio vettore ${\overrightarrow {r}}_{i}\$ (applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio vettore ${\overrightarrow {r}}\$, diventa:

$V({\overrightarrow {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{i}}}|}}\$

Essendo V una funzione scalare, il calcolo del potenziale è molto più semplice.

Caso continuo

Con ovvie estensioni al caso continuo, nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare $\lambda \$: $V({\overrightarrow {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0}^{L}{\frac {\lambda dl}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{l}}}|}}\$

Dove ${\overrightarrow {r_{l}}}\$ è il vettore posizione del generico elementino $dl\$.

Con ragionamenti analoghi per distribuzione superficiale:

$V({\overrightarrow {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{S}{\frac {\sigma ds}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{s}}}|}}\$

e per distribuzione volumetrica:

$V({\overrightarrow {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{T}{\frac {\rho d\tau }{|{\vec {r}}-{\vec {r_{\tau }}}|}}\$

Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.

Dal Potenziale elettrico al campo elettrico

Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:

$dV=-{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\$

Cioè la d.d.p. elettrico tra i punti in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz) è pari al prodotto scalare tra campo elettrico e spostamento cambiato di segno:

$dV=-E_{x}dx-E_{y}dy-E_{z}dz\$

Ma d'altro canto:

$dV={\frac {\partial V}{\partial x}}dx+{\frac {\partial V}{\partial y}}dy+{\frac {\partial V}{\partial z}}dz\$

Quindi:

$E_{x}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\$

$E_{y}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}\$ $E_{z}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}\$

Ricordando che abbiamo definito ${\vec {\nabla }}$ (detto Nabla) come:

${\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})\$

Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere in maniera più compatta come:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V\$

Il dipolo elettrico

Un dipolo elettrico

Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:$+q\$ e $-q\$, poste come nella figura a fianco a distanza $2a\$. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico ${\vec {p}}\$:

${\vec {p}}=2q{\vec {a}}\$

Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.

Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. l potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto $P\$ distante $r\$ dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:

$V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left({\frac {q}{r_{1}}}-{\frac {q}{r_{2}}}\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}q{\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}}\$

Se $r_{1}\$ ed $r_{2}\$ (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche $2a\$, se indichiamo con $\theta \$ l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione ${\vec {r}}\$, si può scrivere:

$r_{2}-r_{1}\approx 2a\cos \theta \$

ed anche:

$r_{1}r_{2}\approx r^{2}\$ Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:

$V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}q{\frac {2aq}{r^{2}}}\cos \theta \$

Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:

$V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{r^{3}}}\$

Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.

Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle $z\$ la direzione del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\$, tale espressione diventa:

$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {pz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}\$

Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:

$E_{x}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {3pzx}{r^{5}}}\$

$E_{y}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {3pzy}{r^{5}}}\$

$E_{z}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{r^{5}}}(3z^{2}-r^{2})\$

'E possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}r^{5}}}\left[3({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {p}}\right]\$

Due esercizi A, B possono servire a chiarire il concetto di dipolo.

Unità di misura ed ordini di grandezza

Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle di una Energia di diviso una carica, quindi l'unita di misura nel Sistema Internazionale è detto Volt ed equivale a uno Joule diviso un Coulomb:

$[V]={\frac {[Energia]}{[Carica]}}={\frac {[J]}{[C]}}\$

Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come $N/C\$, ma si preferisce indicarla in $V/m\$

$[E]={\frac {[Forza]}{[Carica]}}={\frac {[V]}{[m]}}\$

I campi elettrici sono estremante difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche $10^{6}\ V/m\$ nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un plasma. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tale campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità. La densità di carica.

Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Volt a centinaia di Volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estremente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.

La carica dell'elettrone di circa $1.6\times 10^{-19}\ C$, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche $m^{3}\$, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche Km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a $10^{-9}\ C/m^{3}\$, la densità di carica presente nell'aria in una giornata serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale unità.

Energia potenziale elettrica

In condizioni statiche l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenzale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche.

Se ho semplicemente due cariche $q_{1}\$ e $q_{2}\$ e proviamo ad avvicinarle alla distanza $r_{12}\$ a partire da distanza infinita. La differenza di energia potenziale posseduta dal sistema nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale é evidentemente:

$U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}\$

Si può estendere il ragionamento ad un sistema di $n\$ cariche $q_{i}\$ poste a distanza reciproca $r_{ij}\$. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:

$U={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}\qquad i\neq j\$

(1)

Il valore 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie altrimenti considerate due volte una volta scambiate.

Nel caso di distribuzione continua di cariche la formula generale é di poca utilità è più semplice affrontare il problema da un punto di vista fisico.

Caso di una sfera uniformemente carica

Immaginiamo di vore costruire una sfera uniformemente carica di raggio $R\$ e carica totale $Q\$. Immaginiamo di assemblarla sucessivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume $d\tau =4\pi r^{2}dr\$. Il processo di costruzione inizia con la sfera di raggio $r=0\$ e finisce con la sfera di raggio $R\$.

La densità di carica vale ovviamente:

$\rho ={\frac {3Q}{4\pi R^{3}}}$

Quindi quando la sfera ha un raggio $r\$ con $0\leq r\leq R$ il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo $dr\$ vale:

$dU=V_{r}\rho d\tau \$

(2)

Dove $V_{r}\$ è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale $r\$:

$V_{r}={\frac {\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{4\pi \epsilon _{o}r}}={\frac {\rho r^{2}}{3\epsilon _{o}}}\$

Esplicitando l'eq. 2:

$dU={\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}dr}{3\epsilon _{o}}}$

Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:

$U=\int _{0}^{R}{\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}dr}{3\epsilon _{o}}}={\frac {\rho 4\pi R^{5}}{15\epsilon _{o}}}={\frac {3Q^{2}}{20\pi \epsilon _{o}R}}\$

(3)

Argomento seguente: Conduttori