Matematica per le superiori/Derivate: differenze tra le versioni

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Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:



:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{\Delta x}} =</math>
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x + \Delta x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{\Delta x}} =</math>


:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] + f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] + f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>


:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] \right\} } + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left\{ f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x + \Delta x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right] \right\} } + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \left\{ f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>


:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x + \Delta x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x + \Delta x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} =</math>


:<math> = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>
:<math> = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>

:c.v.d
:c.v.d


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:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( \frac{f(x + \Delta x)}{g(x +\Delta x} \right) - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}}{\Delta x}} =</math>
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( \frac{f(x + \Delta x)}{g(x +\Delta x} \right) - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}}{\Delta x}} =</math>



Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
Notando che: <math>+ f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) = 0</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:



:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math> \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)} \cdot \frac{f(x + \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}} =</math>
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>
:<math>\frac{1}{\left[ g(x) \right]^2} \cdot \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x +\Delta x - f(x)}{\Delta x}} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} \right] =</math>
:<math> = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math>
:c.v.d.


===Derivata di una funzione di funzione===


Innanzitutto, con 'funzione di funzione' si intende una funzione del tipo: <math>y = (f(g(x))</math>, cioè qualcosa ottenuto da un' operazione del tipo: <math>x \to g(x) = z \to f(z) = y</math>.
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{g(x + \Delta x) \cdot g(x)}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left\{ g(x) \cdot \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right] \right\} } =</math>


La derivata di una tale funzione può essere ricavata nel modo seguente:
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}}</math>


:<math>\frac{1}{\left[ g(x) \right]^2} \cdot \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x +\Delta x - f(x)}{\Delta x}} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x)} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}} \right] =</math>
Notando che <math>g(x) = z</math> e <math>g(x + \Delta x) = z + \Delta z</math> e, quindi, <math>\Delta z = g(x + \Delta x) - g(x)</math>, e che <math>\Delta x \rightarrow 0 \Leftrightarrow \Delta z \rightarrow 0</math>, si può allora scrivere:


:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left( \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta x} \cdot \frac{\Delta z}{\Delta z} \right)} = </math>
:<math>\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \left( = \frac{\Delta z}{\Delta x} \right)} = f'(z) \cdot g'(x)</math>


===Derivata di una funzione esponenziale===
:<math> = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{\left[ g(x) \right]^2}</math>


Una funzione esponenziale si presenta in questo modo:<math>y = \left[ f(x) \right]^{g(x)}</math>. Per calcolare la derivata di una funzione di questo tipo, è sufficiente ricordare che <math>e^{\ln a} = a</math>, e quindi scrivere l' equazione in questa nuova forma, assolutamente equivalente alla precedente: <math>y = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}</math>. Ora essa può essere considerata come una funzione del tipo <math>y = e^x</math>, e derivata come tale, ricordando che poichè al posto di x è presente una funzione <math>g(x) \cdot \ln f(x)</math>, si deve applicare la formula per la derivata di una funzione di funzione.
:c.v.d.

===Derivata dell' inverso di una funzione===

Definita l' inverso di una funzione <math>y = f(x)</math> come <math>x = F(y)</math>, la sua derivata vale <math>F'(y) = \frac{1}{f'(x)}</math> per ogni punto in cui la funzione è definita e la sua derivata prima non è nulla.

Con semplici considerazioni geometriche, si nota come <math>F'(y)</math> rappresenti la cotangente goniometrica dell' angolo da essa formato con il semiasse positivo delle x, quindi: <math>F'(y) = \frac{1}{\tan \alpha}</math>


==Derivate fondamentali==
==Derivate fondamentali==
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*<u>'''<math>y = x</math></u>
*<u>'''<math>y = x</math></u>
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
*:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta x}} = 1 \Rightarrow y' = 1</math>
*<u>'''<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in N_0</math>
*<u>'''<math>y = x^n</math></u>, con <math> n \in \mathbb{N}_0</math>
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*::<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 1} + (\Delta x)^n \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
*:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\left( x^n + n \cdot x^{n - 1} \cdot (\Delta x) + \binom{n}{2} \cdot x^{n - 2} \cdot (\Delta x)^2 + ... + n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n - 1} + (\Delta x)^n \right) - x^n}{\Delta x}} =</math>
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*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
*::<math> n \cdot x^{n - 1} \Rightarrow y' = n \cdot x^{n - 1}</math>
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
*:Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo <math>y = \sqrt[3]{f(x)}</math>). Infatti, la radice ''n''-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza <math>\frac{1}{n}</math>. Cioè: <math>\sqrt[n]{f(x)} = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}</math>. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
*<u><math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in R^{+}</math>
*<u><math>y = a^x</math></u>, con <math>a \in \mathbb{R}^{+}</math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*::<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x \cdot \left(a^{\Delta x - 1} \right)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^x}{\Delta x}} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} </math>
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
*:Ricordando che: <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} = \log_e a</math>, il limite qui sopra si può scrivere come:
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==Differenziale di una funzione==
==Differenziale di una funzione==

Definito <math>\Delta y</math> come <math>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</math>, allora vale: <math>\Delta x \rightarrow 0 \Leftrightarrow \Delta y \rightarrow (f(x) - f(x)) = 0</math>. Sono pertanto due infinitesimi, che possono essere confrontati. Il loro confronto coincide, se finito, con la derivata prima della funzione. Questo giustifica il seguente modo di scrivere la derivata:
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = f'(x)</math>

Da cui, scrivendo (come si dice) fuori dal segno di limite:
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \varepsilon(\Delta x) \Rightarrow \Delta y = f'(x) \cdot \Delta x + f'(x) \cdot \varepsilon(\Delta x)</math>

<math>f'(x) \cdot \Delta x</math> è la parte principale dell' infinitesimo <math> \Delta y</math>, mentre <math>f'(x) \cdot \varepsilon(\Delta x)</math> è la parte complementare di tale infinitesimo, che può pertanto essere ignorata.

Si dice differenziale di una funzione, e si indica con dy la parte principale dell' infinitesimo <math>\Delta y</math>, cioè: <math>f'(x) \cdot \Delta x</math>.

Se si considera la funzione <math>y = x</math>, allora <math>dy = dx</math>, e quindi:
:<math>dy = dx = 1 \cdot \Delta x = \Delta x \Rightarrow dx = \Delta x</math>

Alla luce di ciò, si può scrivere: <math>dy = f'(x) \cdot dx</math>, e dare una nuova definizione della derivata, cioè: <math>f'(x) = \frac{dy}{dx}</math>.

Sostituendo il differenziale all' incremento (cioè, come si dice, confondendo l' uno con l' altro), si commette un errore che vale, se considerato <math>dy</math> e <math>\Delta y</math>: <math>\Delta x \cdot \varepsilon(\Delta x)</math>.

Geometricamente, significa sostituire al grafico della curva quello della sua tangente. Naturalmente, poichè la derivata rimane pur sempre un limite, l' errore commesso è infinitesimale appunto, e può perciò essere ignorato.


==Legami fra derivabilità e continuità==
==Legami fra derivabilità e continuità==

Una funzione per essere derivabile (in un punto o in un intervallo), deve essere continua (in quel punto o in quell' intervallo). Perciò una funzione è continua nei punti in cui è derivabile. Di ciò se ne può fornire una dimostrazione, considerando la funzione in un punto <math>x_0</math>:
:<math>f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}} \Rightarrow \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x)</math>


:<math>f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (\Delta x) \cdot \left[ f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x) \right] </math>


:<math>\Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{(\Delta x) \cdot \left[ f'(x_0) + \varepsilon(\Delta x) \right]} </math>


:<math>\Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0)} = 0</math>


:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0 + \Delta x)} = f(x_0)</math>

Da cui segue immediatamente che la funzione è continua. c.v.d.

Può capitare, invece, che in alcuni punti o intervalli una funzione sia continua ma non derivabile, come accade, ad esempio, nei punti di cuspide, nei punti angolosi o nei punti di flesso a tangente verticale.


==Teoremi sulle funzioni derivabili==
==Teoremi sulle funzioni derivabili==
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{{Avanzamento|50%|18 marzo 2009}}
{{Avanzamento|75%|19 marzo 2009}}

Versione delle 23:24, 19 mar 2009

La derivata è sempre relativa ad una funzione e, per come è definita, ad un suo punto specifico (c, ). La derivata prima (si parlerà successivamente di derivate seconde, terze,...) della funzione y = nel punto (c, ) si indica con .

Se una funzione viene derivata, cioè se ne calcola la derivata, in tutti i punti di un intervallo o del suo dominio, la derivata è ancora una funzione, del tipo . Questa funzione può essere a sua volta derivata, ottenendo quella che è detta derivata seconda ed è indicata con . Se questa viene di nuovo derivata, si ottiene la derivata terza (), la derivata quarta () e così via.

La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.

Interpretazione geometrica

Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell'equazione della tangente al grafico della curva in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.

Per fare ciò, si considera un punto

ed il punto Q determinato fornendo un incremento , per cui il punto Q ha coordinate

Poiché il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è:

.

Si nota facilmente che più i due punti "si avvicinano", più la secante passante per P e Q "si avvicina" alla tangente. Quindi:

Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.

Interpretazione cinematica

Il secondo problema legato allo sviluppo del concetto di derivata riguarda la determinazione della velocità di un corpo in moto: considerato l' equazione del moto di un corpo, cioè S(t) essa può essere rappresentata su un grafico cartesiano, nelle cui ascisse è rappresentato il tempo e nelle cui ordinate è rappresentato lo spostamento. Perciò S(x) è una qualsiasi funzione del tipo f(x).

Il problema risiede nel determinare la velocità del corpo dopo un dato tempo, cioè in un certo punto

Per fare ciò, si può considerare un punto Q di ascissa e, quindi, di ordinata e poi calcolare la velocità con la formula

dove S e t indicano lo spostamento nel punto indicato a pedice. Questa, però è la velocità media sostenuta nel percorso fra P e Q. Il problema era calcolare la velosità istantanea, cioè nel solo punto P. Questo valore può essere approssimato in modo sempre migliore diminuendo la distanza fra le ascisse di P e Q. Perciò:

Significato

Come si evince dalla definizione data nei due problemi storici, la derivata rappresenta il limite del rapporto incrementale . Infatti, rappresenta il tasso di variazione medio della funzione nell' intervallo , mentre rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione nel punto, cioè la sua tendenza in quel punto.

Per quanto riguarda lo studio di funzioni, la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta la sua monotonia in quel punto, cioè la sua crescenza o decrescenza. In particolare, negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, la funzione è crescente; nei punti in cui la funzione è decrescente.

Punti stazionari e non derivabili

Si dicono punti stazionari di una funzione tutti e soli i punti in cui la derivata prima è 0.

Si dicono punti (o intervalli) non derivabili tutti e soli i punti della funzione in cui: la derivata assume valore infinito, non esiste il limite del rapporto incrementale per oppure il limite da destra (per eccesso) è diverso dal limite da sinistra(per difetto). In questi punti la funzione ha un comportamento particolare.

Nei punti stazionari, la funzione può avere un punto di massimo (relatico o assoluto), un punto di minimo (relativo o assoluto) o un punto di flesso a tangente orizzontale.

I punti di massimo relativo sono punti in cui:

(punti di massimo debole) oppure
(punti di massimo forte)

con : intorno del punto x = c

Se (con D = dominio di ), allora si parla di punti di massimo assoluti.

Analogamente, si dicono punti diminimo i punti in cui:

(punti di minimo debole) oppure
(punti di minimo forte)

Se (con D = dominio di ), allora si parla di punti di minimo assoluti.

I punti di flesso a tangente orizzontale sono punti in cui la derivata prima si annulla, ma 'prima' e 'dopo' di essi la derivata prima ha uguale segno (cioè la funzione ha uguale andamento). Quindi sono punti di flesso i punti in cui:

e

Se in un punto non derivabile il limite della derivata (il limite perchè in quel punto la derivata non esiste) da destra è diverso da quello da sinistra ma sono entrambi finiti e diversi da 0, cioè:

allora nel punto x = c si ha un punto angoloso, cioè un punto nel quale sono presenti due diverse tangenti.

Se, invece, nel punto i limiti della derivata da destra e da sinistra sono entrambi infiniti positivamente o negativamente (purchè aventi entrambi lo stesso 'segno'), allora in quel punto è presente un punto di flesso a tangente verticale. Scritto in simboli:

Nel caso in cui invece i due limiti siano entrambi infiniti ma di diverso 'segno', allora nel punto si ha una cuspide:

Teoremi sulle derivate

Derivata della somma di funzioni

Date due funzioni e definite e derivabili in un intorno del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione , la derivata prima di tale funzione vale per ogni

Detto in altri termini: la derivata della somma di funzioni è la somma delle derivate delle singole funzioni.

Col termine somma si intende, in questo caso, una somma algebrica, e quindi anche la derivata della differenza di due funzioni è la differenza delle derivate delle singole funzioni.

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

c.v.d.

Può essere generalizzato per un qualsiasi numero di funzioni sommate fra di loro, quindi vale anche:

Caso particolare

Se

Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.

Derivata del prodotto di funzioni

Considerate due funzioni e definite e derivabili in un intorno del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione , la derivata prima di tale funzione vale per ogni

Cioè: la derivata del prodotto di più funzioni è la somma dei singoli prodotti di una funzione derivata per tutte le altre non derivate.

Può essere generalizzato a più funzioni, cioè:

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:


Notando che: , il limite qui sopra si può scrivere come:

c.v.d

Caso particolare

Se

Derivata del quoziente di funzioni

Considerate due funzioni e definite e derivabili in un intorno del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione , la derivata prima di tale funzione vale per ogni

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:


Notando che: , il limite qui sopra si può scrivere come:

c.v.d.

Derivata di una funzione di funzione

Innanzitutto, con 'funzione di funzione' si intende una funzione del tipo: , cioè qualcosa ottenuto da un' operazione del tipo: .

La derivata di una tale funzione può essere ricavata nel modo seguente:

Notando che e e, quindi, , e che , si può allora scrivere:

Derivata di una funzione esponenziale

Una funzione esponenziale si presenta in questo modo:. Per calcolare la derivata di una funzione di questo tipo, è sufficiente ricordare che , e quindi scrivere l' equazione in questa nuova forma, assolutamente equivalente alla precedente: . Ora essa può essere considerata come una funzione del tipo , e derivata come tale, ricordando che poichè al posto di x è presente una funzione , si deve applicare la formula per la derivata di una funzione di funzione.

Derivata dell' inverso di una funzione

Definita l' inverso di una funzione come , la sua derivata vale per ogni punto in cui la funzione è definita e la sua derivata prima non è nulla.

Con semplici considerazioni geometriche, si nota come rappresenti la cotangente goniometrica dell' angolo da essa formato con il semiasse positivo delle x, quindi:

Derivate fondamentali

Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.

  • , con
    Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo ). Infatti, la radice n-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza . Cioè: . In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.
  • , con
    Ricordando che: , il limite qui sopra si può scrivere come:
  • Ricordando:
    • la proprietà dei logaritmi per cui
    • che e
    • che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè:
    • il limite notevole:
    • la formula per il cambio di base dei logaritmi:
  • Ricordando la formula di prostaferesi:
    Ricordando il limite notevole:
  • Ricordando la formula di prostaferesi:
    Ricordando il limite notevole:
  • Poichè:


Differenziale di una funzione

Definito come , allora vale: . Sono pertanto due infinitesimi, che possono essere confrontati. Il loro confronto coincide, se finito, con la derivata prima della funzione. Questo giustifica il seguente modo di scrivere la derivata:

Da cui, scrivendo (come si dice) fuori dal segno di limite:

è la parte principale dell' infinitesimo , mentre è la parte complementare di tale infinitesimo, che può pertanto essere ignorata.

Si dice differenziale di una funzione, e si indica con dy la parte principale dell' infinitesimo , cioè: .

Se si considera la funzione , allora , e quindi:

Alla luce di ciò, si può scrivere: , e dare una nuova definizione della derivata, cioè: .

Sostituendo il differenziale all' incremento (cioè, come si dice, confondendo l' uno con l' altro), si commette un errore che vale, se considerato e : .

Geometricamente, significa sostituire al grafico della curva quello della sua tangente. Naturalmente, poichè la derivata rimane pur sempre un limite, l' errore commesso è infinitesimale appunto, e può perciò essere ignorato.

Legami fra derivabilità e continuità

Una funzione per essere derivabile (in un punto o in un intervallo), deve essere continua (in quel punto o in quell' intervallo). Perciò una funzione è continua nei punti in cui è derivabile. Di ciò se ne può fornire una dimostrazione, considerando la funzione in un punto :





Da cui segue immediatamente che la funzione è continua. c.v.d.

Può capitare, invece, che in alcuni punti o intervalli una funzione sia continua ma non derivabile, come accade, ad esempio, nei punti di cuspide, nei punti angolosi o nei punti di flesso a tangente verticale.

Teoremi sulle funzioni derivabili