Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni

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==I dettagli==
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Il fatto che l'[[integrale]] sia positivo segue dal fatto che l'[[integrando]] è il quoziente di due quantità non negative, essendo la somma o il prodotto di potenze pari di [[numero reale|numeri reali]]. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
That the [[integral]] is positive follows from the fact that the [[integrand]] is a quotient whose numerator and denominator are both nonnegative, being sums or products of even powers of [[real numbers]]. So the integral from 0 to 1 is positive.


Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
It remains to show that the integral in fact evaluates to the desired quantity:


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|<math>=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ </math> (recall that arctan(1) = &pi;/4)
|<math>=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ </math> (poiché arctan(1) = &pi;/4)
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Versione delle 13:29, 16 feb 2006

Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato cpme approssimazione di π. Esso è una convergenza della semplice espansione in frazione continua di π. È maggiore di π,come si può notare dalla espasione decimale:


Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica.

L'idea

Quindi 22/7 > π.

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integrando è il quoziente di due quantità non negative, essendo la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

(poiché arctan(1) = π/4)

Appearance in the Putnam Competition

The evaluation of this integral was the first problem in the 1968 Putnam Competition. If it seems trivially routine for a Putnam Competition problem, one may perhaps surmise that its inclusion was motivated by the conjunction of the punch line (summarized by the title of this article) with the fairly nice pattern in the integral itself.

Many years earlier, the result was given in D. P. Dalzell, On 22/7, Journal of the London Mathematical Society 19 (1944) 133-134.

See also

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