Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una convergenza della semplice espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π,come si può notare dalla espasione decimale:

${\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,$

$\pi \approx 3.141592\dots \,$

Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica.

L'idea

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi$

quindi

$22/7>\pi .$

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integrando è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

$0\,$	$<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$
	$=\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}$
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$
	$={\frac {22}{7}}-\pi .$

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putman Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Link esterni

• Il problema della Putman competition del 1968