Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni
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Il [[numero razionale]] '''22/7''' è ampiamente usato come [[approssimazione]] di '''[[pi greco|π]]'''. Esso è una ridotta della espansione in [[frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni: |
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:<math>\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,</math> |
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Versione delle 23:38, 19 apr 2007
Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
Nonostante molti conoscano il valore numerico di π dalla scuola, pochi sanno come sia calcolato. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi.
L'idea
quindi
I dettagli
Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.
Apparizione nella Putnam Competition
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.