Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica
Nessun oggetto della modifica
Riga 3: Riga 3:
:<math>\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,</math>
:<math>\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,</math>


:<math>\ pi \approx 3.141592\dots\,</math>
:<math>\pi \approx 3.141592\dots\,</math>


Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di &pi; dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di &pi; dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].

Versione delle 13:07, 6 gen 2008

Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

 :

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi.

L'idea

quindi

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putnam Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Collegamenti esterni


Template:Portale