Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni
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Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]]. |
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]]. |
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al kashi fornì 16 cifre decimali esatte di pi greco |
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==L'idea== |
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:<math>0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi</math> |
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quindi |
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:<math> \frac{22}{7} > \pi.</math> |
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==I dettagli== |
==I dettagli== |
Versione delle 23:06, 28 mar 2009
Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi.
al kashi fornì 16 cifre decimali esatte di pi greco
I dettagli
Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.
Apparizione nella Putnam Competition
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.