Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Bot: Modifico: fr:22 / 7 dépasse π
pi greco!!!!!!!!!
Riga 7: Riga 7:
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].


al kashi fornì 16 cifre decimali esatte di pi greco
==L'idea==

:<math>0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi</math>

quindi

:<math> \frac{22}{7} > \pi.</math>


==I dettagli==
==I dettagli==

Versione delle 23:06, 28 mar 2009

Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi.

al kashi fornì 16 cifre decimali esatte di pi greco

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putnam Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Collegamenti esterni


Template:Portale