Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni

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Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si [[dimostrazione matematica|dimostrerà]] che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica|analisi]].


==L'idea==
hhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj<nowiki><nowiki>Inserisci qui il testo non formattato</nowiki><nowiki><nowiki>Inserisci qui il testo non formattato</nowiki>--[[Speciale:Contributi/151.65.39.53|151.65.39.53]] ([[User talk:151.65.39.53|msg]]) 23:24, 28 mar 2009 (CET)

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:<math>0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi</math>
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== Grassetto ==
quindi
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#REDIRECT[[#REDIRECT[[]]]]
:<math> \frac{22}{7} > \pi.</math>


==I dettagli==
==I dettagli==

Versione delle 23:24, 28 mar 2009

Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi.

L'idea

quindi

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putnam Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Collegamenti esterni


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