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Matrice di un Sistema lineare
Dato il sistema lineare
definiamo la matrice del sistema lineare la tabella
Alla base della definizione vi sono due idee: la prima, che abbiamo già accennato nella precedente sezione, è che per risolvere il sistema lineare non servono le incognite ma sono sufficienti i coefficienti e i termini noti. La seconda è che conviene dare a questi numeri reali la forma di una tabella rettangolare, suggerita dalla forma del sistema lineare.
Questa rappresentazione è la chiave di volta nella teoria dei sistemi lineari. Analizzeremo ora la generalizzazione di questo concetto.
Matrici
Definizione
Dati , , una matrice a coefficienti in è una tabella del seguente tipo:
con per e .
Righe e Colonne
Data una matrice possiamo definire:
- righe di : sono le seguenti matrici
- colonne di : sono le seguenti matrici
Rappresentazione e componenti
Possiamo rappresentare la matrice mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere
Per indicare useremo anche la notazione
Infine per indicare la componente -esima di useremo la notazione . Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.
Esempio
Sia
Allora è una matrice e le sue righe e colonne sono
Le componenti di sono:
Quindi può essere scritta come:
Insiemi di Matrici
Definizione
Dati con indicheremo con l'insieme di tutte le matrici a coefficienti in , e con tutte le matrici a coefficienti in , ovvero:
Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ è una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \} }
Chiameremo le matrici di matrici quadrate.
Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se è un sistema lineare con equazioni e incognite, allora .
Praticamente si consideri il seguenti sistema:
allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che