Algebra lineare e geometria analitica/Matrici: differenze tra le versioni

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M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ e' una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \}
M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ &egrave; una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \}
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Versione delle 12:54, 8 feb 2010

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Template:Geometria

Matrice di un Sistema lineare

Dato il sistema lineare

definiamo la matrice del sistema lineare la tabella


Alla base della definizione vi sono due idee: la prima, che abbiamo già accennato nella precedente sezione, è che per risolvere il sistema lineare non servono le incognite ma sono sufficienti i coefficienti e i termini noti. La seconda è che conviene dare a questi numeri reali la forma di una tabella rettangolare, suggerita dalla forma del sistema lineare.

Questa rappresentazione è la chiave di volta nella teoria dei sistemi lineari. Analizzeremo ora la generalizzazione di questo concetto.

Matrici

Definizione

Dati , , una matrice a coefficienti in è una tabella del seguente tipo:

con per e .

Righe e Colonne

Data una matrice possiamo definire:

  • righe di : sono le seguenti matrici

  • colonne di : sono le seguenti matrici

Rappresentazione e componenti

Possiamo rappresentare la matrice mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

Per indicare useremo anche la notazione

Infine per indicare la componente -esima di useremo la notazione . Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.


Esempio

Sia

Allora è una matrice e le sue righe e colonne sono

Le componenti di sono:

Quindi può essere scritta come:

Insiemi di Matrici

Definizione

Dati con indicheremo con l'insieme di tutte le matrici a coefficienti in , e con tutte le matrici a coefficienti in , ovvero:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ &egrave; una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \} }

Chiameremo le matrici di matrici quadrate.


Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se è un sistema lineare con equazioni e incognite, allora .

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che