Analisi matematica/Problemi fondamentali: differenze tra le versioni

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Le costanti <math>\ c_1, c_2...c_n</math> sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo '''n''' condizioni iniziali alle <math>\ y, y',...y^{n-1}</math>. Se l'equazione differenziale è in forma ''normale'' cioè nella forma <math>\ y^{(n)}=F(x,y,y',...y^{(n-1)})</math>, si dimostra che se <math>\ F</math> è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di <math>\ x=x_0</math>, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.
Le costanti <math>\ c_1, c_2...c_n</math> sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo '''n''' condizioni iniziali alle <math>\ y, y',...y^{n-1}</math>. Se l'equazione differenziale è in forma ''normale'' cioè nella forma <math>\ y^{(n)}=F(x,y,y',...y^{(n-1)})</math>, si dimostra che se <math>\ F</math> è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di <math>\ x=x_0</math>, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.

'''Esempio''':

Sia data l'equazione <math>\ {y'\over y}=k</math>,essa può scriversi: <math>\ {dlgx\over dx}=k</math>, da cui si trae: <math>\ lgy= kx+c,</math> ovvero: <math>\ y= C e^{kx},</math> avendo posto: <math>\

e^c=C</math>.

La famiglia di curve rapprentante l' ''integrale generale'' è dunque: <math>\ y=C e^{kx}</math>.

Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto <math>\ (0,1)</math> basta determinare <math>\ C</math> con

l'eqazione:

::::::<math>\ 1=C e^0, \qquad da\ cui: C=1</math>

e quindi: <math>\ y=e^{kx}</math> è un integrale ''particolare''.

Versione delle 15:25, 16 giu 2010

Problemi fondamentali

Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, risolverla significa trovare la famiglia di funzioni:

che la soddisfano identicamente.

La soluzione si dice integrale generale, se invece si danno alle costanti dei valori particolari si ottiene un integrale particolare, si dice infine integrale singolare una funzione non deducibile dalla e che sia soluzione dell'equazione data; se la famiglia ammette un inviluppo, la funzione corrispondente è un integrale singolare dell'equazione data.

Le costanti sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo n condizioni iniziali alle . Se l'equazione differenziale è in forma normale cioè nella forma , si dimostra che se è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di , in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.

Esempio:

Sia data l'equazione ,essa può scriversi: , da cui si trae: ovvero: avendo posto: .

La famiglia di curve rapprentante l' integrale generale è dunque: .

Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto basta determinare con

l'eqazione:

e quindi: è un integrale particolare.