Analisi matematica/Equazioni lineari

Equazioni lineari

$\ Caso\ a,\qquad forma\ omogenea:\qquad {dy \over dx}+a(x)y=0,$

Si separano subito le variabili; $\ {dy \over y}+a(x)dx=0,$

onde:

$\ log\ y=-\int _{}^{}a(x)dx+C,\qquad y=Ce^{-\int _{}^{[}{}adx}$

$\ Caso\ b,\qquad forma\ completa:\qquad {dy \over dx}+a(x)y+b(x)=0,$

Si pone: $\ y=\gamma e^{-\int _{}^{adx}}$ (\gamma essendo una funzione di xda determinarsi), cioè si

cerca un integrale particolare dell'equazione completa, onde:

$\ y'=\gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}-a\gamma e^{-\int _{}^{}adx},$

si sostituisce nell'equazione e si ha:

$\ \gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}+b=0\qquad onde\qquad \gamma '=-be^{\int _{}^{}adx},\qquad \gamma =-\int _{}^{}be^{\int _{}^{}adx}dx,$

onde l'integrale generale si ottiene addizionamdoall'integrale generale dell'equazine omogenea questo integrale

particolar della completa, cioè:

<math>\ y=e^{-\int_{}^{}adx}({-\int_{}^{}be^{\int_{}^{}adx}dx}