Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari

Equazioni riducibili lineari

$\ a)\qquad Equazione\ di\ Bernoulli:$

Forma tipica:$\ -\qquad {dy \over dx}+a(x)y=b(x)y^{n}.$

Si pone : $\ z=y^{1-n},$ onde $\ z'=(1-n)y{-n}y'$ e ponendo in questa l'espressione di y' si

ha l'equazione:

$\ {1 \over 1-n}{dz \over dx}+az=b,$ che è lineare in z.

$\ Esempio\qquad {dy \over dx}+{2 \over x}y={y^{3} \over x^{3}}$

Si pone: $\ z=y^{-2},\quad z'=-2y^{-3}y'$ e l'equazione diventa:

$\ {dz \over dx}={4 \over x}-{2 \over x^{3}},$

che risolta da: $\ z={1 \over 3x^{2}}+Cx^{4}\qquad ovvero:{1 \over y^{2}}={1 \over x^{2}}+Cx^{4}.$

$\ b)\qquad Equazione\ di\ Riccati:$

Forma tipica:$\ -\qquad {dy \over dx}+ay^{2}+by+C=0.$

essendo a, b, e C funzioni date di x:

Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo

$\ y=y_{1}+z$

essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.

$\ Esempio\qquad {dy \over dx}-xy^{2}+2x^{2}y-x^{3}-1=0.$

Questa equazione ammette l'integrale particolare; $\ y_{1}=x,$ per cui ponendo: $\ y=x+z$

l'equazione diventa: $\ {dx \over dx}=xz^{2}$ che si integra subito separando levariabili e si trova:

$\ z=-{1 \over {x^{2} \over 2}+C}$ pere cui l'integrale generale della data è:

$\ y=x-{2 \over x^{2}+2C}={x^{3}+2Cx-2 \over x^{2}+2C}.$

Se si pone : $\ y=y_{1}+{1 \over z},$ l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.