Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari: differenze tra le versioni

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<math>\ Esempio </math>


<math>\ 1)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Lagrange:</math>


::::::<math>\ y=xy^{'2}+y^'</math>


Derivando e ponendo poi <math>\ y^'=t</math> si ha l'equazione lineare nell'incognita x:
{{Avanzamento|25%|19 luglio 2010}}

:::::<math>\ {dx\over dt}+{2x\over t-1}=-{t\over t(t-1)}</math>

Procedendo ora come è stato indicato nelle '''Equazioni lineari''' si trova

:::::<math>\ x={-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}</math>
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:

::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math>

<math>\ 2)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Clairaut:</math>

::::::<math>\ y=xy^{'}+y^{'2}.</math>

:Derivando e ponendo <math>\ y^'=t</math> si trova:

::::<math>\ {dt\over dx}(x+2t)=0.</math>

L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poichè: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad

y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math>

L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolore che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y=

-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale

generale.





{{Avanzamento|100%|19 luglio 2010}}

Versione delle 22:36, 20 lug 2010

Equazioni riducibili lineari

Forma tipica:

Si pone : onde e ponendo in questa l'espressione di y' si

ha l'equazione:

che è lineare in z.

Si pone: e l'equazione diventa:

che risolta da:


Forma tipica:

essendo a, b, e C funzioni date di x:

Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo

essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.

Questa equazione ammette l'integrale particolare; per cui ponendo:

l'equazione diventa: che si integra subito separando levariabili e si trova:

pere cui l'integrale generale della data è:

Se si pone : l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.


Forma tipica:
Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: , onde l'equazione diventa:

Ovvero:

che è lineare nell'incognita

L'integrale generale si trova così in forma parametrica:

Se in particolare: l'equazione si dice di Clairaut.


Derivando e ponendo poi si ha l'equazione lineare nell'incognita x:

Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova

Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:


Derivando e ponendo si trova:

L'equazione: fornisce l'integrale generale, poichè: che confrontata con la data diventa:

L'altra equazione: da l'integrale singolore che è: da cui equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale

generale.