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<math>\ Esempio </math> |
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<math>\ 1)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Lagrange:</math> |
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::::::<math>\ y=xy^{'2}+y^'</math> |
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Derivando e ponendo poi <math>\ y^'=t</math> si ha l'equazione lineare nell'incognita x: |
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{{Avanzamento| 25%|19 luglio 2010}} |
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:::::<math>\ {dx\over dt}+{2x\over t-1}=-{t\over t(t-1)}</math> |
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Procedendo ora come è stato indicato nelle '''Equazioni lineari''' si trova |
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:::::<math>\ x={-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}</math> |
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Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è: |
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::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math> |
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<math>\ 2)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Clairaut:</math> |
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::::::<math>\ y=xy^{'}+y^{'2}.</math> |
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:Derivando e ponendo <math>\ y^'=t</math> si trova: |
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::::<math>\ {dt\over dx}(x+2t)=0.</math> |
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L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poichè: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad |
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y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math> |
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L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolore che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y= |
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-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale |
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generale. |
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{{Avanzamento| 100%|19 luglio 2010}} |
Equazioni riducibili lineari
- Forma tipica:
Si pone : onde e ponendo in questa l'espressione di y' si
ha l'equazione:
- che è lineare in z.
- Si pone: e l'equazione diventa:
che risolta da:
- Forma tipica:
essendo a, b, e C funzioni date di x:
- Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.
- Questa equazione ammette l'integrale particolare; per cui ponendo:
l'equazione diventa: che si integra subito separando levariabili e si trova:
pere cui l'integrale generale della data è:
Se si pone : l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.
- Forma tipica:
- Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: , onde l'equazione diventa:
Ovvero:
che è lineare nell'incognita
- L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
Se in particolare: l'equazione si dice di Clairaut.
Derivando e ponendo poi si ha l'equazione lineare nell'incognita x:
Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:
- Derivando e ponendo si trova:
L'equazione: fornisce l'integrale generale, poichè: che confrontata con la data diventa:
L'altra equazione: da l'integrale singolore che è: da cui equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale
generale.